「数学」数论只会gcd

题目链接 : https://www.luogu.org/problemnew/show/T33159

【题目背景】

$$\text{小 Z 的 NOIP（节选）}$$

模拟只会猜题意 贪心只能过样例

数学上来先打表 $D P$ 一般看规律

图论强行套模板 数论只会$g c d$

递归递推伤不起 搜索茫然$T L E$

【题目描述】

可怜的蒟蒻小Z只会做gcd的水题。看，他翻开了一道例题：

求$\sum_{i=1}^{n} i^k \cdot \lbrack gcd(i,n)==1 \rbrack$的值。

可是他被数据规模吓到了。你能帮帮他吗？

【输入格式】

第一行一个整数$T$，代表有$T$组数据。

接下来$T$行，每行两个整数$n,k$。

【输出格式】

输出共$T$行，每行一个整数，为你的答案，模$10^9+7$输出。

【输入样例】

3
44885 1
65408 3
50979 2

【输出样例】

784589800
496682893
156958624

【数据规模】

【题目来源】

首先，本题为三合一（逃

【第一题】 ACM/ICPC Dalian2011 The boss on Mars

题目描述：求$\sum_{i=1}^{n} i^4 \cdot \lbrack gcd(i,n)==1 \rbrack$的值。对$10^9+7$取模输出。

数据规模：$n \leq 10^8$，有多组数据。

题解： 进行质因数分解，得到最多$8$个质因子。然后将前$n$个四次方和减去与$n$不互质的四次方之和。

多减去的问题，应该考虑容斥原理。

含有因子$d$时，计算与$n$不互质的数$d, 2d, 3d, \cdots, \lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor \times d$，个数为$\lfloor \dfrac{n}{d} \rfloor$。提出公因数$d$后，发现是一个四次方和公式，手推即可。

时间复杂度：$O( \sqrt{n} + 2^{n \text{的质因子个数}\ \ \ \ \ \ \ \ })$。

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【第二题】 Codeforces 622F The Sum of the k-th Powers

题目描述：求$\sum_{i=1}^{n} i^k$的值。对$10^9+7$取模输出。

数据规模：$n \leq 10^9, k \leq 10^6$，仅一组数据。

题解：易知答案为$k+1$次多项式。所以我们需要进行朗格拉日插值。

首先算出$i^k$的前缀和，共$k+2$项。可以计算$k+2$个点$(x_i, y_i)$确定出多项式。

答案为$f(x) = \sum_{i=1}^{k+1} y_i l_i(x)$。

然后就是将前缀和带入，手推公式。

时间复杂度：$O(k)$或$O(k \log k)$。

参考：http://aequa.me/index.php/2018/02/01/powersum-linear/

当然要写O(k log k)我也卡不掉（逃

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【第三题】 洛谷6月月赛「数学」约数个数和

题目描述：求$n$的 (所有约数的)× $k$的约数个数和。对$998244353$取模输出。

数据规模：$n, k \leq 10^{18}$，仅一组数据。

题解：手推公式，发现需要质因数分解，把结果扔进组合数。

组合数可以线性递推，所以质因数分解成了关键。

质因数分解交给$Pollard-Rho$，$O(\sqrt[4]{n})$。

不会这个？那么$150$分只能拿到$83$分。

算法$Pollard-Rho$的讲解：

设$n = pq$。其中$p, q$互质。最坏的情况就是，$p, q$都是质数。

随机从$\lbrack 2, n-1 \rbrack$中选出一些数$a_1,a_2,\cdots,a_?$，刚好是$p$或$q$的概率很小。但如果是$\gcd(|a_i-a_j|,n)$呢？

因为$n = pq$，因数$p, q$都很难找到，但是$p, q$的倍数就很多了！

$\lbrack 2, n-1 \rbrack$中$p$的倍数有$p, 2p, 3p, \cdots, qp$，一共$q$个。$q$的倍数有$q, 2q, 3q, \cdots, pq$，一共$p$个。合起来再扣除两个$n$，得到有$p+q-2$个数，概率为$\dfrac{p+q-2}{n}$。任意试验$x$次，就有$(\dfrac{p+q-2}{n})^x$的概率会成功。

坑点：$n = 1$时要特判。

find_factor (n){
    if ( n == 1 ) return ;
    if ( Miller-Rabin(n) ){　　// n 是一个质数
        primelist.add(n);
        return;
    }
    p1=rand(),p2=rand();　　　　// 也可以换成其它数字
    while (1) {　　　　　　　　　// 记得判断环
        p2=function(p1);　　　　// function 为伪随机数函数
        q=gcd(n,abs(p1-p2));
        if (q!=1){ 　　　　　　　// 找到一个约数了！
            find_factor(q);
            find_factor(n/q);　// 两边递归分解
            return;
        }
        p1=p2;
    }
}

当然，这里使用$O(1)$的空间产生随机数，只需要存连续两次的随机数种子。记得注意随机数周期循环问题。

时间复杂度：$O(\sqrt[4]{n} + ......)$。

然而我并不会证明（逃

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【部分分讲解】

• 第$1, 2$个测试点只需要模拟 + 快速幂暴力即可。

• 当$k = 0$时，问题为计算$\mathrm{phi}(n)$。

当$k = 1$时，问题为计算$\mathrm{phi}(n) \times \lfloor \dfrac{n}{2} \rfloor$。

计算$\mathrm{phi}(n)$公式如下：若$n = \prod_{i=1}^{k} p_i^{a_i}$，则答案为$n \times \prod_{i=1}^{k} (1 - \dfrac{1}{p_i})$。

【真正的题解】

第一题的$4$次方换成$k$次方时，把第二题的朗格拉日插值替换掉四次方和公式。

最后，质因数分解使用$Pollard-Rho$与$Miller-Rabin$算法。

时间复杂度：$O( \sqrt[4]{n} + 2^{n \text{的质因子个数}\ \ \ \ \ \ } \times k)$。