石子合并问题
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Problem Description
在一个 圆形 操场的四周摆放着n堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分。
对于给定n堆石子,计算合并成一堆的最小得分和最大得分。
Input
输入数据的第1行是正整数n，1≤n≤100，表示有n堆石子。第二行有n个数，分别表示每堆石子的个数。
Output
输出数据有两行，第1行中的数是最小得分，第2行中的数是最大得分。
Sample Input
4
4 4 5 9
Sample Output
43
54
接下介绍实例分析
最小值：
4 4 5 9 score: 0
8 5 9 score: 8
13 9 score: 8 + 13 = 21
22 score: 8 + 13 + 22 = 43
最大值：
4 4 5 9 score: 0
4 4 14 score: 14
4 18 score: 4 + 18 = 22
22 score: 14 + 18 + 22 = 54
参考博客原文:讲解很好
分析
假设有石头Ai,Ai+1,……,Ai+j-1共j堆需要合并,简记为A[i+0,i+j-1].如果设最后一次合并发生在Ak与Ak+1之间(i<=k <=i+j-1),则最后一个合并的得分为
Ai,Ai+1,……,Ai+j-1堆石头的个数的总和记为totalValue(i,j).(不管你最后一次合并发生在哪个位置,totalValue(i,j)的值都是一样的)因此总的得分等于
A[i,k]+A[k+1,i+j-1]+totalValue(i,j).
动态规划思路：
阶段i：石子的每一次合并过程，先两两合并，再三三合并，…最后N堆合并
状态s：每一阶段中各个不同合并方法的石子合并总得分。
决策：把当前阶段的合并方法细分成前一阶段已计算出的方法，选择其中的最优方案
具体来说我们应该定义一个数组s[i,j]用来表示合并方法，s[i][j]表示从第i堆开始数j堆进行合并，s[i,j]为合并的最优得分。
对例子(3 4 6 5 4 2)来说:
第一阶段：s[1,1]=0,s[2,1]=0,s[3,1]=0,s[4,1]=0,s[5,1]=0,s[6,1]=0，因为一开始还没有合并，所以这些值应该全部为0。
第二阶段：两两合并过程如下，其中sum(i,j)表示从i开始数j个数的和
s[1,2]=s[1,1]+s[2,1]+sum(1,2)
s[2,2]=s[2,1]+s[3,1]+sum(2,2)
s[3,2]=s[3,1]+s[4,1]+sum(3,2)
s[4,2]=s[4,1]+s[5,1]+sum(4,2)
s[5,2]=s[5,1]+s[6,1]+sum(5,2)
s[6,2]=s[6,1]+s[1,1]+sum(6,2)
第三阶段：三三合并可以拆成两两合并，拆分方法有两种，前两个为一组或后两个为一组
s[1,3]=s[1,2]+s[3,1]+sum(1,3)或s[1,3]=s[1,1]+s[2,2]+sum(1,3)，取其最优(最大或最小)
s[2,3]=s[2,2]+s[4,1]+sum(2,3)或s[1,3]=s[2,1]+s[3,2]+sum(2,3)，取其最优
第四阶段：四四合并的拆分方法用三种，同理求出三种分法的得分，取其最优即可。以后第五阶段、第六阶段依次类推，
最后在第六阶段中找出最优答案即可。
AC代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max = 99999;
const int Min = 0;
int n, a[200];///n表示堆数，a表示每队的数量
int dp[200][200];///dp[i][j]表示从第i堆开始合并j堆（包括第i堆）后的最小花费
int dq[200][200];///dq表示最大
int sum(int i, int t)///从第i堆开始,t个石堆合，最后一次的合并的花费
{
int s = 0, k1, k;
for(k = i; k < i + t; k++)
{
k1 = k % n;
if(k1 == 0) k1 = n;
s = s + a[k1];///这t个石堆最好两堆合并时的花费一定是这t堆石子的总和
}
return s;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin>>a[i];
dp[i][1] = 0;///表示合并一堆的花费，没有合并则花费为0
dq[i][1] = 0;
}
///动态规划
for(int t = 2; t <= n; t++)
{
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
dp[i][t] = Max;
dq[i][t] = Min;
for(int k = 1; k < t; k++)
{
dp[i][t] = min(dp[i][t], dp[i][k] + dp[(i + k - 1) % n + 1][t - k] + sum(i, t));
dq[i][t] = max(dq[i][t], dq[i][k] + dq[(i + k - 1) % n + 1][t - k] + sum(i, t));
}
}
}
int mmin = Max;
int mmax = Min;
for(int i = 1; i <= n; i++)///从第几堆石子开始结果最小
{
mmin = min(mmin, dp[i][n]);
mmax = max(mmax, dq[i][n]);
}
cout<<mmin<<endl;
cout<<mmax<<endl;
}
测试数据代码，辅助理解,以及容易出现错误的地方
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max = 99999;
const int Min = 0;
int n, a[200];///n表示堆数，a表示每队的数量
int dp[200][200];///dp[i][j]表示从第i堆开始合并j堆（包括第i堆）后的最小花费
int dq[200][200];///dq表示最大
int sum(int i, int t)///从第i堆开始,t个石堆合，最后一次的合并的花费
{
int s = 0, k1, k;
for(k = i; k < i + t; k++)
{
k1 = k % n;///作为数组的下标
if(k1 == 0) k1 = n;
s = s + a[k1];///这t个石堆最好两堆合并时的花费一定是这t堆石子的总和
}
return s;
}
int main()
{
int i, k, j;
cin>>n;
for(i = 1; i <= n; i++)
{
cin>>a[i];
dp[i][1] = 0;///表示合并一堆的花费，没有合并则花费为0
//dq[i][1] = 0;
}
///动态规划
for(i = 2; i <= n; i++)
{
for(j = 1; j <= n; j++)
{
dp[j][i] = Max;///求最大值把默认值初始化为最小值，反之
//dq[j][i] = Min;
for(k = 1; k < i; k++)
{
cout<<"dp["<<j<<"]["<<i<<"]="<<dp[j][i]<<"----"<<"dp["<<j<<"]["<<i<<"]="<<dp[j][k]<<"---(j+k-1)%n+1="<<(j + k - 1) % n + 1<<"---sum="<<sum(j, i)<<endl;
dp[j][i] = min(dp[j][i], dp[j][k] + dp[(j + k - 1) % n + 1][i - k] + sum(j, i));
//dq[j][i] = max(dq[j][i], dq[j][k] + dq[(j + k - 1) % n + 1][i - k] + sum(j, i));
cout<<"dp["<<j<<"]["<<i<<"]="<<dp[j][i]<<"---dp[j][k]+dp[(j+k-1)%n+1][i-k]+sum(j, i)="<<dp[j][k] + dp[(j + k - 1) % n + 1][i - k] + sum(j, i)<<endl;
cout<<"KKKKK结束"<<endl;
cout<<endl;
}
cout<<"JJJJJ结束"<<endl;
cout<<endl;
}
cout<<"IIIII结束"<<endl;
cout<<endl;
}
int mmin = Max;
int mmax = Min;
for(int i = 1; i <= n; i++)///从第几堆石子开始结果最小
{
mmin = min(mmin, dp[i][n]);
//mmax = max(mmax, dq[i][n]);
}
cout<<mmin<<endl;
//cout<<mmax<<endl;
}
此代码摘自芙芙个憨憨
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxx = 0x3f3f3f3f;
int main()
{
int n;
cin >> n;
int stone[210];
int dp1[210][210];
int dp2[210][210];
int sum[210];
int a1 = maxx;
int a2 = 0;
for (int i = 0; i <= 2 * n; i++)
{
for (int j = 0; j <= 2 * n; j++)
{
dp1[i][j] = maxx;
dp2[i][j] = -1;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> stone[i];
stone[i + n] = stone[i];
dp1[i][i] = dp2[i][i] = dp1[i + n][i + n] = dp2[i + n][i + n] = 0;
}
sum[0] = 0;
for (int i = 1; i <= 2 * n - 1; i++)
{
sum[i] = stone[i] + sum[i - 1];
}
for (int len = 1; len <= n - 1; len++)
{
for (int i = 1; i <= 2 * n - 1; i++)
{
int j = i + len;
if (j >= (2 * n)) break;
int k;
if (len == 1) dp1[i][j] = dp2[i][j] = sum[j] - sum[i-1];
else
{
for (k = i; k < j; k++)
{
dp1[i][j] = min(dp1[i][j], dp1[i][k] + dp1[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
dp2[i][j] = max(dp2[i][j], dp2[i][k] + dp2[k + 1][j] + sum[j] - sum[i - 1]);
}
}
}
}
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
a1 = min(a1, dp1[i][i + n - 1]);
a2 = max(a2, dp2[i][i + n - 1]);
}
cout << a1 << "\n" << a2 << "\n";
return 0;
}