ML (8) - DesicionTree决策树

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决策树基本概念

• 通过一系列节点判断，得到最终的结果。
• 例如鸢尾花数据集，仅取两个特征：
  
• 决策树为非参数学习算法，天然的可解决多分类问题，不需使用OvR、OvO等策略。
• 同样也可以解决回归问题。
• 构建一个决策树，主要考虑2个问题：

1. 每个节点要在哪一个特征(维度)上进行划分？
2. 特征(维度)以阀值多少作为划分？

• 主要流程：
  利用训练样本特征及真值，通过衡量算法求出每一个节点最佳特征及划分阀值，从而构建一颗决策树。
  
  
  
  

衡量算法

• 信息熵 (Information Entropy)

1. 熵在热力学中的定义，物体熵越大粒子运动越剧烈，熵越小粒子运动越平静。

2. 熵在信息论中代表随机变量的不确定度。

3. 熵越大，数据的不确定性越高。熵越小，数据的不确定性越低。

4. 信息熵公式：
   $H(D) = -\sum_{i=1}^kp_i*log(p_i)$
   [数据集共有 $k$类， $p_i$表示数据集中 $i$类别所占的比例，log()以e为底。]

5. Eg: 假设一个数据集有3类，每类样本量占比均为 $\frac{1}{3}$。另一个数据集同样3类，每类样本量占比为{ $\frac{1}{10},\frac{2}{10},\frac{7}{10}$}。信息熵为：
   
   依概率右边数据的确定度更高，熵计算的结果右边也确实更低。再比如3类占比{1,0,0}，信息熵就等于0，因此确定度就很高，因为只有一个种类。

6. 我们构建决策树，就是要找到每一个节点最合适的划分特征，使数据集在节点划分后得到的分支，信息熵总和最小的为最适合的划分特征。

• 信息增益 (Information Gain)

1. 信息增益公式：
   $Gain(D,a)= H(D)-\sum_{v=1}^V\frac{|D^v |}{|D|} *H(D^v)$
   [ $D$ 为总样本集。 $V$为某离散特征 $a$可能取值，将 $D$分成了 $V$群。 $D^v$为 $V$中第 $v$个值的样本集。]
   总熵减去各个分支熵的权重和，称信息增益。

2. 信息增益最大的为最适合的划分特征。

3. Eg：
   
   以西瓜数据为例共17个样本，有两类：8个正例，9个反例。特征集为：{色泽、根蒂、敲声、纹理、脐部、触感}.。以特征 ‘色泽’ 为例：有3个可能值 {青绿、乌黑、浅白}，(色泽=青绿)有6个，其中正反例占比：p1=3/6，p2=3/6、(色泽=乌黑)有6个，其中正反例占比：p1=4/6，p2=2/6、(色泽=浅白)有5个，其中正反例占比：p1=1/5，p2=4/5。

   • 整个数据集总熵 $H(D)$：
     
   • 分支熵 $H(D^v)$：
     
   • 特征’色泽’ 信息增益 $Gain(D)$：
     
   • 用同样的方式，计算出除 ‘色泽’ 剩下的5个特征的信息增益值，这里我直接给出结果：
     
   • 经过对比，特征 ‘纹理’ 的信息增益最大，因此将纹理作为划分节点：
     
   • 第一个节点决定后，在此基础上，同样使用信息增益继续对每个分支节点做进一步划分，最终可以得出一个完整的决策树模型，如图:
     

• 增益率 (Gain Ratio)

1. 信息增益准则对特征可取数目较多的特征有偏好，为了减少这种影响，增益率(Gain Ratio)诞生。

2. 增益率公式：
   $GainRatio(D,a) = \frac {Gain(D,a)}{IV(a)}$ ，其中 $IV(a) = -\sum_{v=1}^V \frac{|D_v|} {|D|}log_2\frac{|D_v|}{|D|}$ 称为特征 $a$的 ‘固有值’ ，特征 $a$的可能取值数目越多 $IV(a)$就越大。

3. 增益率是对特征可取数目较少的特征有偏好，因此常不直接使用增益率，而是采用先找出信息增益高于平均水平的特征，再从中选择增益率最高的，为最适合的划分特征。

• 基尼系数 (gini)

1. 和信息熵的作用一致，只是计算公式不同。
2. 基尼公式：
   $G = 1-\sum_{i=1}^kp_{i}^2$
   [ $p_{i}$ 表示数据集中i类别所占的比例]
3. G越大，数据的不确定性越高。G越小，数据的不确定性越低。

选取’划分特征’方式

• 离散特征： 可能取值数是有限的，就如同上面西瓜数据例子。处理方式即通过对不同特征的不同可能值进行分群，计算信息增益或增益率，比较所有特征的信息增益或增益率值，从而为每一个节点选出最佳划分特征。 (Tips：离散特征，子节点是不能再考虑父节点使用过的所有特征。)
• 连续特征： 可能取值数不再有限，处理方式通常采用二分法。1. 样本每一个特征单独考虑，按从小到大顺序排列，从头开始按先后顺序两两相邻样本，对当前考虑的特征取均值作为阀值，根据此阀值对样本集进行二分，计算信息增益或增益率，比较所有特征的信息增益或增益率值，选出最佳划分特征。(Tips：连续特征，子节点依旧还可以使用父节点特征，即每个节点每次选择划分特征都可以考虑全部连续特征，不论父节点是否已经使用过此特征。)
  Eg：
  
  同样以西瓜数据为例，现在多了两个连续特征：'密度，‘含糖率’。
  对于特征 ‘密度’ ： 先从小到大排序，然后两两取均值得到16个阀值，根据每一个阀值，对样本集进行划分，然后算出信息增益，选取信息增益最大的阀值作为划分点。这里最大信息增益为0.262，对应于阀值0.381。
  
  对于特征 ‘含糖率’ ： 同样步骤，得出最大信息增益为0.349，对应于阀值0.126。
  
• ID3、C4.5、C5 等决策树算法通，特征离散就采用分群法，连续就采用二分法，采用计算信息增益或增益率的方式。CART决策树算法，不管特征离散还是连续都采用二分法，采用计算gini系数或信息熵的方式。(sklearn只实现CART决策树算法)

Scikit-learn中决策树

• API：sklearn.tree.DecisionTreeClassifier

主要参数：

参数名	含义
criterion	衡量算法： ‘gini’(默认)， ‘entropy’
splitter	每个节点处选择拆分的策略：‘best’(默认)，‘random’
min_samples_split	子节点拆分所需的最小样本数：如果是int，直接表示最小样本数，如果是float，表示概率，最小样本数为min_samples_split * n_samples。默认 = 2。
min_samples_leaf	子节点至少要有的样本数：如果是int，直接表示需要样本数，如果是float，表示概率，需要样本数为min_samples_split * n_samples。默认 = 1。
max_depth	树的最大深度。默认 = None，扩展节点直到所有子节点都是纯的或直到所有子节点包含少于min_samples_split样本。
max_leaf_nodes	最多能有多少子节点，默认=None，可以有无限个。
max_features	每次拆分考虑的特征数量：int,float,‘auto’,‘sqrt’,‘log2’,‘None’(默认)。None即考虑全部特征。
class_weight	各类别的权重：字典({0:0.9,1:0.1})，‘balanced’，默认None。如果class_weight选择balanced，会根据训练样本量来计算权重，某类样本量越多，权重越低，反之亦然。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn import datasets
from matplotlib.colors import ListedColormap
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier

#画决策边界函数
def plot_decision_boundary(model, axis):
	x0, x1 = np.meshgrid(
        np.linspace(axis[0], axis[1], int((axis[1]-axis[0])*100)).reshape(-1, 1),
        np.linspace(axis[2], axis[3], int((axis[3]-axis[2])*100)).reshape(-1, 1),)
	X_new = np.c_[x0.ravel(), x1.ravel()]
	y_predict = model.predict(X_new)
	zz = y_predict.reshape(x0.shape)
	custom_cmap = ListedColormap(['#EF9A9A','#FFF59D','#90CAF9'])
	plt.contourf(x0, x1, zz, linewidth=5, cmap=custom_cmap)
	
#为了可视化，只取两个维度
iris = datasets.load_iris()
X = iris.data[:,2:]
y = iris.target

dt_clf = DecisionTreeClassifier(max_depth=2, criterion="entropy", random_state=42)
dt_clf.fit(X, y)

plot_decision_boundary(dt_clf, axis=[0.5, 7.5, 0, 3])
plt.scatter(X[y==0,0], X[y==0,1])
plt.scatter(X[y==1,0], X[y==1,1])
plt.scatter(X[y==2,0], X[y==2,1])
plt.show()