洛谷 P3197 [HNOI2008]越狱 题解

P3197 [HNOI2008]越狱

题目描述

监狱有连续编号为 \(1…N\) 的 \(N\) 个房间，每个房间关押一个犯人，有 \(M\) 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。

输入格式

输入两个整数 \(M,N\)

输出格式

可能越狱的状态数，模 \(100003\) 取余

输入输出样例

输入 #1

2 3

输出 #1

6

说明/提示

6种状态为(000)(001)(011)(100)(110)(111)

\(1 \le M \le 10^8\)
\(1 \le N \le 10^{12}\)

【思路】

组合数学 + 快速幂

【题目大意】

n个房间里面都有犯人，他们信仰m种不同的宗教
求有至少一对信仰相同宗教的人挨在一起的情况

【核心思路】

正着求是很难求或者是没有办法求的
所以正难则反
没法直接求出来越狱的情况
那就求出总的情况和不越狱的情况
用总的情况减去不越狱的情况
就是题目要求我们求的越狱的情况

总的情况
每一个房间都有m中可能，一共有n个房间
所以可能性是m^n次方
总的情况就知道了
然后看不会越狱的情况
第一个房间可以有m中选择
第二个房间不能和第一个房间的宗教一样‘
所以只有m-1中可能
第三个也是和第二个一样
所以出现了一个m和n-1个m-1
那么不会越狱的情况就是m*(m-1)^(n-1)
知道了这两个
一做差就可以求出来会越狱的情况了

【小细节】

幂运算很大需要用快速幂

【完整代码】

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
const int mo = 100003;

int p(int a,int b)
{
  int ans = 1;
  while(b != 0)
  {
    if(b & 1 == 1)
    {
      ans *= a;
      ans %= mo;
    }
    b /= 2;
    a = ((a % mo) * (a % mo)) % mo;
  }
  return ans;
} 

signed main()
{
  int n,m;
  cin >> m >> n;
  cout << ((p(m,n) % mo - (m * p(m - 1,n - 1)))%mo + mo ) % mo;//先做减法，因为减法之后可能出现负数，但是这个负数的绝对值一定会小于m的 ，因为这是两个已经%过m的数，保证小于m所以做的差的绝对值也一定小于m，只需要将这个可能是服饰的数加上mo保证是正数之后再%一遍mo 
  return 0;
}