选球游戏（ game ） 时间限制：3s 空间限制：512MB 编译时开启 O2 优化开关 【问题描述】 华华和秀秀在玩游戏。在他们面前有!个球排成一排，从左到右按 1 到!编号。每个球有一 个可正可负的权值。 每一轮， 秀秀会选定一个区间[#,%]， 将编号在这个区间内的所有球的权值 加上一个值'， 或者将编号在这个区间内的所有球的权值都设为其相反数。 华华则需从这!个球 中选出(个球来，他的得分为这(个球的权值的乘积。 华华每次都能快快地找出得分最优的选球方案来。秀秀想了想，决定提升游戏难度。她每 次会选定一个区间[#,%]，然后询问华华在这个区间内选出((1 ≤ ( ≤ 10)个球的所有方案的得 分之和。 这下可把华华难倒了，于是华华找到了聪明的你。你能帮帮他嘛？ 由于所有方案的得分之和可能很大，你只需要输出得分之和对1000000007(10 / + 7)取模 的结果（负数请加上10 / + 7变成非负数）即可。 【输入格式】 从文件 game.in 中读入数据。 输入第一行包含两个正整数!,1，分别表示球的个数和秀秀的操作条数。 接下来一行包含!个空格隔开的整数，表示每个球初始的权值。 接下来1行，每行表示秀秀的一个操作。 若该行形如“1 # % '”，则表示秀秀将编号属于[#,%]的所有球的权值都加上了'； 若该行形如“2 # %”，则表示秀秀将编号属于[#,%]的所有球的权值都置为了其相反数； 若该行形如“3 # % (”，则表示华华需要回答从[#,%]中选出(个球的所有取球方案的得分之 和。 【输出格式】 输出文件到 game.out 中。 对于秀秀宝宝的每一个询问操作，输出一行，表示该询问的答案。 【样例输入】 10 9 3 6 7 4 6 1 6 7 2 6 3 5 7 3 1 1 7 -9 1 2 3 5 3 2 6 1 2 5 8 3 5 7 3 2 2 3 3 1 10 2 3 1 2 2 【样例输出】 36 999999996 72 999999885 12 【样例说明】 第一个询问：6×1×6 = 36 第二个询问： 询问前各个球的权值为：-6 2 3 -5 -3 -8 -3 7 2 6 2 + 3 + −5 + −3 + −8 = −11 −11 + (10 / + 7) = 999999996 第三个询问： 询问前各个球的权值为：-6 2 3 -5 3 8 3 7 2 6 3×8×3 = 72
考虑用线段树来完成此题。对于每个节点我们维护一个f[i](i \in [1, 10])，表示这个节点所对应区间选i个球的答案。
考虑如何合并两个节点lc,rc。f[i] = sum（lc.f[j] * rc.f[i-j]) j \in [0,i]
对于取相反数操作，只有当i是奇数时，才会改变f[i]的符号。
对于一段区间+c的操作，设这段区间的长度为len，则新的f[i]为sum (f(j) * c^{i-j} * C(len - j, i - j)) j\in [0,i] 其中C(n,m)表示n个数中选m个的组合数
这样我们就可以套用区间修改区间询问的线段树来解决这道题了，时间复杂度为O(c^2nlogn)
#include <cstdio> #include <cstdlib> #define MOD 1000000007 #define N 100005 typedef long long LL; using namespace std; struct Node { LL f[11]; }node[N * 4]; LL a[N], lazy1[N * 4]; bool lazy2[N * 4]; LL C[N][11]; Node merge(Node lc, Node rc) { Node o; o.f[0] = 1; for (int i = 1; i <= 10; i++) { o.f[i] = 0; for (int j = 0; j <= i; j++) o.f[i] = (o.f[i] + lc.f[j] * rc.f[i - j] % MOD) % MOD; } return o; } void build(int o, int l, int r) { if (l == r) { for (int i = 0; i <= 10; i++) node[o].f[i] = 0; node[o].f[0] = 1; node[o].f[1] = (a[l] % MOD + MOD) % MOD; return ; } int mid = (l + r) >> 1; build(o * 2, l, mid); build(o * 2 + 1, mid + 1, r); node[o] = merge(node[o * 2], node[o * 2 + 1]); return ; } void update1(int o, int l, int r, int c) { int len = r - l + 1; LL ff[11]; for (int i = 0; i <= 10; i++) ff[i] = node[o].f[i]; for (int i = 1; i <= 10; i++) { node[o].f[i] = 0; LL t = 1; for (int j = 0; j <= i; j++) { LL tmp = ff[i - j] * C[len - (i - j)][j] % MOD * t % MOD; node[o].f[i] = (node[o].f[i] + tmp) % MOD; t = t * c % MOD; } } return ; } void push_down(int o, int l, int r) { int mid = (l + r) >> 1; if (lazy1[o]) { if (lazy2[o * 2]) lazy1[o * 2] = (lazy1[o * 2] + MOD - lazy1[o]) % MOD; else lazy1[o * 2] = (lazy1[o * 2] + lazy1[o]) % MOD; if (lazy2[o * 2 + 1]) lazy1[o * 2 + 1] = (lazy1[o * 2 + 1] + MOD - lazy1[o]) % MOD; else lazy1[o * 2 + 1] = (lazy1[o * 2 + 1] + lazy1[o]) % MOD; update1(o * 2, l, mid, lazy1[o]); update1(o * 2 + 1, mid + 1, r, lazy1[o]); lazy1[o] = 0; } if (lazy2[o]) { lazy2[o * 2] ^= 1; lazy2[o * 2 + 1] ^= 1; for (int j = 1; j <= 10; j += 2) { node[o * 2].f[j] = MOD - node[o * 2].f[j]; node[o * 2 + 1].f[j] = MOD - node[o * 2 + 1].f[j]; } lazy2[o] = 0; } } void modify1(int o, int l, int r, int ll, int rr, int c) { if (ll <= l && rr >= r) { if (lazy2[o]) lazy1[o] = (lazy1[o] + MOD - c) % MOD; else lazy1[o] = (lazy1[o] + c) % MOD; update1(o, l, r, c); return ; } int mid = (l + r) >> 1; push_down(o, l, r); if (ll <= mid) modify1(o * 2, l, mid, ll, rr, c); if (rr > mid) modify1(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr, c); node[o] = merge(node[o * 2], node[o * 2 + 1]); return ; } void modify2(int o, int l, int r, int ll, int rr) { if (ll <= l && rr >= r) { for (int i = 1; i <= 10; i += 2) node[o].f[i] = MOD - node[o].f[i]; lazy2[o] ^= 1; return ; } int mid = (l + r) >> 1; push_down(o, l, r); if (ll <= mid) modify2(o * 2, l, mid, ll, rr); if (rr > mid) modify2(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr); node[o] = merge(node[o * 2], node[o * 2 + 1]); return ; } Node query(int o, int l, int r, int ll, int rr) { if (ll <= l && rr >= r) return node[o]; int mid = (l + r) >> 1; push_down(o, l, r); if (rr <= mid) return query(o * 2, l, mid, ll, rr); if (ll > mid) return query(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr); Node lc = query(o * 2, l, mid, ll, rr); Node rc = query(o * 2 + 1, mid + 1, r, ll, rr); return merge(lc, rc); } int main(int argc, char ** argv) { // freopen("game.in", "r", stdin); // freopen("game.out", "w", stdout); int n, m; scanf("%d %d", &n, &m); C[0][0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i++) { C[i][0] = 1; for (int j = 1; j <= 10; j++) C[i][j] = (C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % MOD; } for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]); build(1, 1, n); for (int i = 1; i <= m; i++) { int l, r, opt; scanf("%d%d%d",&opt, &l, &r); if (opt == 1) { int c; scanf("%d", &c); c = (c % MOD + MOD) % MOD; modify1(1, 1, n, l, r, c); } else if (opt == 2) { modify2(1, 1, n, l, r); } else { int k; scanf("%d", &k); Node o = query(1, 1, n, l, r); printf("%d\n", o.f[k] % MOD); } } return 0; }