1015
反正这两次的模拟赛都不太会写吧 感觉越来越dl 今天初赛 真好
T1
反正题目给你excatalan 提醒你是卡特兰数了 m=0 的情况 你发现就是卡特兰
那么考虑 m为任意数字的 方法 显然 我们需要知道卡特兰数的证明方法 其实昨天探讨的时候 想了更多方法 有必要解决这样的问题
首先证明方法有折线法 由折线法 我们不妨引出 另外一种证明思想
卡特兰数对应的 问题模型都是 在第K次执行 操作2的时候 操作1都是至少执行了K次 那么我们用x轴表示 当前的操作次数 一共需要2n次
然后把操作1当做 向上45走根号2步 操作2当成 向下45走根号2步 那么此时我们就能发现一条到达 （2n，0） 的折线
那么合法的方案数我们也能发现也就是 这个折线没有任意时刻 跨过x轴 那么我们考虑这个时候 用所有的方案数 减去 不合法的方案数
此时合法括号序列恰好对应我们寻找合法路径的方案数 那么所有的方案数对应$\binom{2n}{n}$
那么此时来考虑 怎么求所有不合法的方案数 我们记得 我们在求从（0,0）出发 向上 或者 向右 到达（n，n）
不跨过y=x 的方案数 我们是怎么求证的呢 我们画个图来探讨一下 我真不想画 截yxc神仙的b站上的 组合数学讲解
现在任意存在一个 不合法 的路径 那么我们找到第一次 跨过 这个直线的部分 到达另外一条直线 也就是图上 绿色 部分
我们此时将从这个点到后面的路径全部关于这个直线翻折过去
那么此时终点变成了 （n-1 n+1）那么所有不合法的路径就对应 所有从（0,0） 到达（n-1，n+1） 所有路径条数 那么方案数我们就显然知道了
此时我们回到上面的折线法 我们考虑 每次45度 这名方法 也是把第一次 跨过x轴 到达y=-1 这个直线的时候 K 之后K+1~2n 之间的路径 全部关于 y=-1 对称过来
不过是把y=x 这个基准线 变成x轴 然后把绿色的线
那么 终点变成了 （2n，-2） 此时操作1 比操作 少2 那么操作1 有n-1 操作2 有n+1 那么考虑 此时 就是2n 中选择 n-1 种的方案数 $\binom{2n}{n-1}$
那么不合法的方案数 也就是 至少一次不匹配的方案数 此时卡特兰数的 我们就证明了出来 有必要把这种翻折 寻找基准线的方法 理解一下。
此时$\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1}$ 就是方案数 其实从这个时候 我们不妨思考一下 我们减去的就是对应的 至少一种不匹配的方案数
那么 我们考虑 如果是恰好m次不合法的方案数 那么 我们 可以转化成 至少m次不匹配的方案数 - 至少m+1次不匹配的方案数 其实对应到折线图上
我们此时把基准线变成y=-m 这个时候 我们求出来 按照 上述的方案数 此时 我们求出来 就是 至少m次 不合法的方案数
此时 cat（n,m）-cat（n，m+1） 此时 就是答案了 cat(n,m)=$\binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-m-1} $