泊松分布随机数

一、功能

产生泊松分布的随机数。

二、方法简介

泊松分布的概率密度函数为
\[ f(x)=\frac{\lambda ^{x}e^{-\lambda }}{x!} \qquad x\in \left \{ 0,1,...,\lambda \right \} \]
用\(P(\lambda)\)表示。泊松分布的均值为\(\lambda\)，方差为\(\lambda\)。

定理 若\(\lambda > 0\)，\(x\)是整数，\(u_i\)是（0，1）区间上均匀分布的随机数，即\(u_{i} \sim U(0, 1)\)，且有
\[ \prod_{i=0}^{x}u_{i}\geqslant e^{-\lambda }> \prod_{i=0}^{x+1}u_{i} \]
那么\(x\)是一个以\(\lambda\)为均值的泊松分布的随机变量。

产生泊松分布随机变量\(x\)的具体算法如下：

1. 设\(b = 1,i=0\)；
2. 产生均匀分布的随机数\(u_i\)，即\(u_{i} \sim U(0, 1)\)；
3. 计算\(b\leftarrow bu_{i}\)；
4. 如果\(b\geqslant e^{-\lambda }\)，那么\(i\leftarrow i+1\)，返回到2；
5. 取\(x = i\)。

三、使用说明

是用C语言实现产生二项分布随机数的方法如下：

/************************************
    lambda  ---泊松分布均值lambda
    s       ---随机数种子
************************************/
#include "math.h"
#include "uniform.c"

int poisson(double lambda, long int *s)
{
    int i;
    int x;
    double a;
    double b;
    double u;

    a = exp(-lambda);
    i = 0;
    b = 1.0;
    do{
        u = uniform(0.0, 1.0, s);
        b *= u;
        i++;
    }while(b >= a);
    x = i - 1;
    return(x);
}

uniform.c文件参见均匀分布的随机数