二项分布与泊松分布

二项分布（Binomial distribution）

要介绍二项分布，先要介绍伯努利实验，然后自然而然就想到了抛硬币问题，正面朝上的概率为p，反面朝上的概率为q (q = 1 - p)，假设正面朝上标记为1，反面朝上为0，则一次伯努利实验的期望为p，方差为p*q。

二项分布是对n次伯努利实验正面朝上（或反面朝上）次数及其概率进行刻画的一种离散分布。
官方一点表述是n次独立伯努利试验成功次数的离散概率分布（当n = 1时，又称为伯努利分布）。

二项分布的概率表现形式(概率质量函数PMF)为：
Pr(X = k) = $n \choose k$ $p^{k}q^{n-k}$，k = 0,1,2,…n

假设B1，B2，，，Bn为n次独立的伯努利试验，根据期望和方差的公式：
二项分布的期望为：
E(B1 + B2 + … + Bn) = nE(B1) = np
方差：
V(B1 + B2 + … + Bn) = nV(B1) = np*q

关于二项分布的例子

1，连续独立地抛硬币n次，统计正面朝上的次数及其概率，它在理论上服从二项分布（这是p = q = 0.5的情况）。
2，连续独立地掷骰子（6个面）n次，统计点数为6的次数及其概率，这是p = 1/6，q = 5/6的情况。
3，在p比较小，n比较大时可以用泊松分布来近似（一个保守的法则是n>= 100 & p <= 0.01）。
4，当npq >= 5 时，用正态分布来近似二项分布是合适的。

泊松分布（Poisson distribution）

二项分布的命名是因为有成功和失败两项，泊松分布则是根据泊松这个人来命名的。它也是离散概率分布，与稀有事件的发生有关。

考虑下面几个事件：
1，整个下午通过某个不繁忙路口的汽车数服从泊松分布。
将整个下午（时间长度为T）分成很多小段时间 $\Delta t$，对于每一小段，通过一辆车的概率为 $Pr(X = 1) = \lambda\Delta t（\lambda为单位时间内通过车辆的期望数）$，则整个下午通过该路口的车辆数服从参数为 $\lambda T$的泊松分布。
2，面积为A的琼脂培养皿上的细菌群体数服从泊松分布。
将整个培养皿分成很多小块 $\Delta A，在小区域内发现1个菌群的概率为Pr(X = 1) = \lambda \Delta A（\lambda为单位面积内菌群的期望数）$，则整个培养皿上的菌群数服从参数为 $\lambda A$的泊松分布。
3，1年时间内得伤寒去世的人数服从泊松分布
将一年的时间分成很多小段，跟前面一样， $\lambda$ 为单位时间内死亡人数的期望值，则1年内因伤寒死亡人数的服从 $\lambda T$的泊松分布。

上述几个例子都满足：

1，都是罕见事件；
2，将整体分成的小段间彼此独立；
3，在整个长时间区间内，任一单位长度上事件的发生数不变化。

泊松分布的其它例子：

1，普鲁士陆军被马踢死的概率；
2，出生缺陷和基因突变；
3，每页纸的打印错误；
4，麦当劳汉堡中的头发数；
5，每月机器出故障的次数。

泊松分布的公式：

$Pr(X = k) = e^{-\mu}\frac{\mu^{k}}{k!}, k = 0,1,2...$
$\mu = \lambda t为指定时间发生事件的期望数$

可以证明泊松分布的期望和方差都为 $\mu$，在 $\mu &gt; 10$时，泊松分布可以很好地被同样期望和方差的正态分布所近似。