泊松分布、泊松定理

泊松分布

假设随机变量X所有可能的取值为0,1,2,\cdots,并且取各个值的概率为:

P(X=k)=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!},   k=0,1,2,\cdots,

其中\lambda >0是常数

那么就称X服从参数为\lambda的泊松分布,记为X\sim \pi (\lambda )

泊松定理

\lambda >0是常数,n是任意正整数,并且np_{n}=\lambda,那么对任意一个非负整数k,有

\lim_{n \to \infty }C_{n}^{k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}

因为np_{n}=\lambda是个常数,当n非常大时,p_{n}非常小,此时二项分布近似等于泊松分布,即有下面的近似式:

C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\approx \frac{\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!},   约束条件np=\lambda

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