题意
给定两个等长序列\(a[n],b[n]\)，与整数\(a,b\)。通过调换位置使
\[\max_{i=1}^{n}{\biggl\lfloor\frac{(a\times\prod_{j=1}^{i-1}a_i)}{b_i}\biggr\rfloor}\quad (\forall a_i,\forall b_i \in\mathbb{N+})\]
最小。
分析
从重新安排顺序容易看出，要求进行排序。这就要求我们用贪心思想分析题目，找到贪心的标准。
由冒泡排序的知识，容易得到邻项交换可使序列有序。
并且冒泡排序与快速排序效果相同，直接sort后求解即可。
所以我们利用贪心的常见思路：考虑只有两个元素的情况。当然，列式表达第i项与第i+1项效果相同，只是不便书写。
也就是说，两个元素\(i,j\quad(j=i+1)\)的大小关系可以拓展到任意\(i,j\quad(i<j)\)
引理
当\(x>0\)时：
- \(\max(a,b)\times x=\max(ax,bx)\)
非常易证。
证明
设元素分别为\((a1,b1),(a2,b2)\)，奖金分别为\(m,n\)，有
\[m=\frac{a}{b_1}\]
\[n=\frac{a\times a_1}{b_2}\]
交换后为
\[m'=\frac{a}{b_2}\]
\[n'=\frac{a\times a_2}{b_1}\]
需要交换的条件是
\[\max(m,n)>\max(m',n')\]
代入有
\[\max(\frac{a}{b_1},\frac{a\times a_1}{b_2})>\max(\frac{a}{b_2},\frac{a\times a_2}{b_1})\]
进一步化简
可有可无
两边同时乘\(\frac{b_1b_2}{a}\)
\[\max(b_2,a_1b_1)>\max(b_1,a_2b_2)\]
当\(b_2<a_1b_1,b_1<a_2b_2\)时
，直接比较\(a_1b_1,a_2b_2\)大小当\(b_2>a_1b_1,b_1<a_2b_2\)时
，必有\(a_1b_1<b_2<a_2b_2\)，等同于直接比较\(a_1b_1,a_2b_2\)当\(b_2<a_1b_1,b_1>a_2b_2\)时
，同上当\(b_2>a_1b_1,b_1>a_2b_2\)时
无论\(b_2,b_1\)大小关系如何，都能由\(a_1,a_2\in \mathbb{N+}\)推出矛盾。
综上所述，当
\[a_1b_1>a_2b_2\]
时，需要交换。
即按照\(a_ib_i\)升序排列。
代码
需要使用高精
这句话说着轻松，其实是这题调试的核心。。我习惯重载
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN=1005,MAXDIGIT=5005;
int n,ak,bk;
struct LongInt
{
short num[MAXDIGIT];
int d;
};
struct person
{
int a;
int b;
}s[MAXN];
LongInt temp,ans;
inline LongInt read()
{
LongInt temp,ret;
temp.d=ret.d=0;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9');
while(c>='0'&&c<='9')
{
temp.num[++temp.d]=c-'0';
c=getchar();
}
for(int i=temp.d;i>=1;i--)
ret.num[++ret.d]=temp.num[i];
return ret;
}
inline void write (LongInt x)
{
for(int i=x.d;i>=1;i--)
putchar(x.num[i]+'0');
}
LongInt operator + (LongInt n1,LongInt n2)
{
LongInt ret;
int len=max(n1.d,n2.d)+1;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
ret.num[i]=0;
if(i<=n1.d)
ret.num[i]+=n1.num[i];
if(i<=n2.d)
ret.num[i]+=n2.num[i];
ret.num[i+1]+=(ret.num[i]/10);
ret.num[i]%=10;
}
while(!ret.num[len]) len--;
ret.d=len;
return ret;
}
LongInt operator * (LongInt n1,LongInt n2)
{
LongInt ret;
int l1=n1.d,l2=n2.d;
ret.d=n1.d+n2.d;
for(int i=1;i<=l1;i++)
for(int j=1;j<=l2;j++)
ret.num[i+j-1]=0;
for(int i=1;i<=l1;i++)
{
for(int j=1;j<=l2;j++)
{
ret.num[i+j-1]+=n1.num[i]*n2.num[j];
ret.num[i+j]+=ret.num[i+j-1]/10;
ret.num[i+j-1]%=10;
}
}
while(!ret.num[ret.d]) ret.d--;
return ret;
}
LongInt operator / (LongInt n1,int n2)
{
int r=0,len=n1.d;
for(int i=len;i>0;i--)
{
r*=10;
r+=n1.num[i];
n1.num[i]=r/n2;
r%=n2;
}
while(!n1.num[n1.d]) n1.d--;
return n1;
}
bool operator < (LongInt n1,LongInt n2)
{
if(n1.d!=n2.d) return n1.d<n2.d;
for(int i=n1.d;i>=1;i--)
if(n1.num[i]!=n2.num[i]) return n1.num[i]<n2.num[i];
}
LongInt trans (int x)
{
LongInt ret;
ret.d=0;
while(x)
{
ret.num[++ret.d]=x%10;
x/=10;
}
return ret;
}
int comp(person p1,person p2)
{
return p1.a*p1.b<p2.a*p2.b;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
scanf("%d%d",&ak,&bk);
for(int i=1;i<=n;i++)
scanf("%d%d",&s[i].a,&s[i].b);
sort(s+1,s+1+n,comp);
temp=trans(ak);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
ans=max(ans,temp/s[i].b);
temp=temp*trans(s[i].a);
}
write(ans);
return 0;
}