洛谷【P1080】国王游戏

我对贪心的理解：https://www.cnblogs.com/AKMer/p/9776293.html

题目传送门：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1080

对于很多要求一个序列使得结果最优，那么这个序列该怎么排的题目，我们都可以用微扰的思想来解决。

假定我们已经求出了最优序列，并且在这个顺序下，交换任意两项都不会更优。因为交换任意两项可以通过交换相邻两项得来，所以也就是交换任意相邻两项不会更优。

令\(fake[i]\)等于\(\prod\limits_{j=0}^{j=i}left[i]\)。对于任意\(i,i+1\)存在：

交换前，他们分别拿到：

\(fake[i-1]/right[i]\)，\(fake[i-1]*left[i]/right[i+1]\)

交换后分别得到：

\(fake[i-1]/right[i+1]\)，\(fake[i-1]*left[i+1]/right[i]\)

由于任意交换都不会使得结果更优，所以：

\(max(fake[i-1]/right[i],fake[i-1]*left[i]/right[i+1])<=max(fake[i-1]/right[i+1],fake[i-1]*left[i+1]/right[i])\)

提出公因式：

\(max(1/right[i],left[i]/right[i+1])<=max(1/right[i+1],left[i+1]/right[i])\)

则\(1/right[i+1]\)与\(left[i+1]/right[i]\)这两个数中，必然有一个数同时大于等于\(1/right[i]和left[i]/right[i]\)。因为\(1/right[i+1]<=left[i]/right[i+1]\)，所以\(left[i+1]/right[i]>=left[i]/right[i+1]\)。

所以对于任意\(i\)，\(i+1\)，都存在：

\(left[i]*right[i]<=left[i+1]*right[i+1]\)

按这个排序然后模拟就行了。

时间复杂度：\(O(n*高精度)\)

空间复杂度：\(O(n)\)

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=1005,pps=10000;

int n;

int read() {
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}

struct person {
    int lft,rgt;
    
    bool operator<(const person &a)const {
        return lft*rgt<a.lft*a.rgt;
    }
}p[maxn];

struct Bignum {
    int num[1050];
    
    void clear() {
        memset(num,0,sizeof(num));
    }
    
    void init() {
        clear();num[0]=num[1]=1;
    }
    
    Bignum operator*(const int &a)const {
        Bignum c;c.clear();c.num[0]=num[0];
        for(int i=1;i<=num[0];i++) {
            c.num[i]+=num[i]*a;
            c.num[i+1]+=c.num[i]/pps;
            c.num[i]%=pps;
        }
        if(c.num[c.num[0]+1])c.num[0]++;
        return c;
    }
    
    Bignum operator/(const int &a)const {
        Bignum c;c.clear();c.num[0]=num[0];
        int tmp=0;
        for(int i=num[0];i;i--) {
            c.num[i]=(tmp*pps+num[i])/a;
            tmp=(tmp*pps+num[i])%a;
        }
        while(!c.num[c.num[0]]&&num[0])c.num[0]--;
        return c;
    }
    
    bool  operator<(const Bignum &a)const {
        if(num[0]!=a.num[0])return num[0]<a.num[0];
        for(int i=num[0];i;i--)
            if(a.num[i]!=num[i])
                return num[i]<a.num[i];
        return 1;
    }
    
    void print() {
        printf("%d",num[num[0]]);
        for(int i=num[0]-1;i>0;i--)
            printf("%04d",num[i]);
    }
};

int main() {
    n=read();
    for(int i=0;i<=n;i++)
        p[i].lft=read(),p[i].rgt=read();
    sort(p+1,p+n+1);Bignum tmp,ans;
    ans.clear();tmp.init();tmp=tmp*p[0].lft;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        ans=max(ans,tmp/p[i].rgt);
        tmp=tmp*p[i].lft;
    }ans.print();
    return 0;
}