2019年9月22日18:22:52-2019年9月22日18:59:51
对于给定居住面积和卧室数量预测房价的问题。我们可以建立一个线性回归模型。假设具有如下形式，
\[ h(x)=\sum_{i=0}^{n} \theta_{i} x_{i}=\theta^{T} x \]
其中\(\theta_{i}\) 叫做参数（parameters），也叫权重（weights）。\(x_{0}=1\) 为截距项（intercept）。
注意，这里的记法是上标表示一个样例下标表示样例的某一个分量，\(n\) 是变量个数。
对于训练集中的数据，我们希望假设在输入上的预测值与输出偏差的平方和最小，所以有如下损失函数（ecost function）来衡量某个假设在训练集上的表现，
\[ \begin{equation} J(\theta)=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}\left(h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)-y^{(i)}\right)^{2} \end{equation} \]
最小均方算法（least mean square）
我们用梯度下降法（gradient descent）来最小化这个损失，定义了损失函数\(J(\theta)\) 之后，函数梯度下降法给以下面的规则同时更新各个参数，
\[ \begin{equation} \theta_{j} :=\theta_{j}-\alpha \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} J(\theta) \end{equation} \]
现在我们来具体求出在线性回归问题上的更新公式，先假设有一个样例$\left(x^{}, y^{}\right) $ ，
\[ \begin{aligned} \frac{\partial}{\partial \theta_{j}} J(\theta) &=\frac{\partial}{\partial \theta_{j}} \frac{1}{2}\left(h_{\theta}(x)-y\right)^{2} \\ &=2 \cdot \frac{1}{2}\left(h_{\theta}(x)-y\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \theta_{j}}\left(h_{\theta}(x)-y\right) \\ &=\left(h_{\theta}(x)-y\right) \cdot \frac{\partial}{\partial \theta_{j}}\left(\sum_{i=0}^{n} \theta_{i} x_{i}-y\right) \\ &=\left(h_{\theta}(x)-y\right) x_{j} \end{aligned} \]
因此对一个样本有更新规则（对\(n\) 个变量同时进行，\(j=1,2,\ldots,n\) ），
\[ \theta_{j} :=\theta_{j}+\alpha\left(y^{(i)}-h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)\right) x_{j}^{(i)} \]
上面的更新规则又叫做最小均方误差更新规则（least mean square），或者 Widrow-Hoff学习规则，来一个样本更新一次，又叫随机梯度下降或增量梯度下降（stochastic gradient descent）。随机梯度下降法，震荡比较猛一点，不过一般情况下也还好。当数据集很大时，这种方法比后面的方法更讨喜。
对于全体样例，有类似的更新规则，
\[ \begin{equation} \theta_{j} :=\theta_{j}+\alpha \sum_{i=1}^{m}\left(y^{(i)}-h_{\theta}\left(x^{(i)}\right)\right) x_{j}^{(i)} \end{equation} \]
这个方法在每一步会用到所有的训练样本，所以又叫做批梯度下降（batch gradient descent）。
梯度下降法可能收敛到局部最小值，但对于线性回归问题的损失函数，一个凸二次函数，只有一个全局最小值，一定收敛到全局最小值。