# 数论基础（更新中） 标签（空格分隔）： 算法笔记 数论 ###入门知识 > 本单元难度$\le$小学六年级数学。 ####1.整数除法 除法是四则运算运算之一，作为乘法的逆运算。已知积与其中一个因数求另一因数的运算叫做除法. 整数除法常有如下表达： $$a \div b = c \cdots d$$ 一般地，我们称 *a* 为被除数，*b* 为除数，*c* 为商，*d* 为余数. 亦可简单推出如下逆运算： $$b \times c + d = a$$ ###2.整除 如果 *a* 能把 *b* 除尽，也就是$a \div b$余数为0，则我们称 *a* 整除 *b* ，也称 *b* 被 *a* 整除. 记为： $$a|b$$ 中间的竖杠表示为整除符号，读作：*a* 整除 *b*. >数论之路，皆由“整除”始。 ###3.整除的性质 - 自反性 对于任意n，有$n|n$. - 传递性 对于任意 $a|b,b|c$，都有$a|c$. ###4.约数与倍数 如果$a|b$，那么称 *a* 是 *b* 的约数，*b* 是 *a* 的倍数。同时称，*a* 是 *b* 的因子（因数）。 因此，我们有一个重要推论： **对于任何整数$n \ge 2$，$n$至少有两个因子：1和 $n$（它本身）.** 我们将这两个因子称为$n$的**平凡因子**. ####*quiz1.*如何计算$[1, n]$中每个数因数的个数？ ```c++ int p_num[MAXN]; for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = i; j <= n; j += i) p_num[j] ++; //O(nlogn) ``` ###5.**质数** 一个整数不存在非平凡因子，我们就称它为质数（亦称为素数）. 不是质数的整数我们称它为合数，即合数有大于等于一个非平凡因子. 例如： *2* 只存在两个平凡因子，即*1* 和*2*，不存在非平凡因子.*2* 是质数. *5* 只存在两个平凡因子，即*1* 和*5*，不存在费平凡因子.*5* 是质数. *4* 存在非平凡因子 *2*. *4* 不是质数，是合数. *1e9+7* 不存在非平凡因子.*1e9+7* 是质数. >数论都是围绕质数概念所展开，理解质数是走进数论大厦的第一步。