这里讲一下三种优化的实现以及正确性。
1、dfs多路增广优化
一般的Dinic算法中是这样的，bfs() 用于标记多条增广路，以至于能一次 bfs() 出多次 dfs()增广路。那么就会有 while（bfs()） 一次，然后 dfs() n 次，出 n 条增广路。
那么我们 dfs 的优化在于使得一次 dfs() 直接累加出这一次 bfs() 所标记出的 n 条增广路。变成 while（bfs()）然后 dfs() 一次 即可。
一般的 Dinic 算法：
int dfs(int u,int res) { if(u==T) return res; for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){ int v=edge[i].to; if(flag[v]==flag[u]+1&&edge[i].val){ if(int k=dfs(v,min(res,edge[i].val))){ edge[i].val-=k; edge[i^1].val+=k; return k; } } } return 0; }
这里的 return k 保证了每次 dfs() 到达终点 T 时，出一次增广路的流量 k ，然后就返回结束了这次 dfs() 。
那我们需要做的是，使得 dfs() 搜到所有 增广路 后才 return 。
那么可以这样，我们用 nowflow 表示当前点所经历过的流量。我们看下图，比如现在 u == 2 时，1---> 2 的流量限制为 10 ，那么在每次返回到 u 点时，u 点所能经过的流量不能大于 10 ，否则这条路将不会成为增广路。那么用 nowflow 来累加出 u 点的流量，一旦 nowflow 等于 10 ，则增广路将无法再从 u 点伸展，故 break 即可。
对于 min 中的 flow - nowflow ，这里是为了告诉 u 后面的所有点的总流量不能大于 flow - nowflow ，即 u 点所能承载的最大流量。
然后对于返回值的问题：需要返回该点的流量。原因是因为，如果该点被伸展完后，那么一直返回该点的流量，直到返回到起点 S 的 nowflow ，则此时的 nowflow 就表示这次 bfs() 所能找到的所有增广路的流量和。
int dfs(int u,int flow) { int nowflow=0; if(u==T) return flow; for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){ cur[u]=i; int v=edge[i].to; if(d[v]==d[u]+1&&edge[i].val>0){ if(int k=dfs(v,min(flow-nowflow,edge[i].val))){ edge[i].val-=k; edge[i^1].val+=k; nowflow+=k; if(nowflow==flow) break; } } } return nowflow;//这里需要返回该点的总流量 }
2、炸点优化
如果当前 u 点伸展完后发现过这个点没有任何增广路被发现，即当前点 nowflow ，则说明增广路不可能通过该点伸展，故直接把这个点 “炸” 掉，即 d[u] = -1 。
int dfs(int u,int flow) { int nowflow=0; if(u==T) return flow; for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){ cur[u]=i; int v=edge[i].to; if(d[v]==d[u]+1&&edge[i].val>0){ if(int k=dfs(v,min(flow-nowflow,edge[i].val))){ edge[i].val-=k; edge[i^1].val+=k; nowflow+=k; if(nowflow==flow) break; } } } if(!nowflow) d[u]=-1; // 炸点 return nowflow; }
3、当前弧优化
对于一次 bfs() 后寻找增广路来说，如果询问了一条路的编号为 a 时，那么不再会通过这条路增广。
比如这里一开始已经通过 1 → 2 → 3 进行了增广，流量累加了。那么下次再遍历到 点 2 时，2 → 3 这条路是不会再提供流量的，所以可以直接排除掉（当然它可能走 3 → 2 这条相应的反向边，反正边的 id 不一样，没影响）
这样我们用 cur[u] 来表示当前 u 点所延伸到的最后一个边的序号，然后下次遍历到 u 点时，直接从这条边开始遍历。
int dfs(int u,int flow) { int nowflow=0; if(u==T) return flow; for(int i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next){ cur[u]=i; // 当前弧优化 int v=edge[i].to; if(d[v]==d[u]+1&&edge[i].val>0){ if(int k=dfs(v,min(flow-nowflow,edge[i].val))){ edge[i].val-=k; edge[i^1].val+=k; nowflow+=k; if(nowflow==flow) break; } } } if(!nowflow) d[u]=-1; return nowflow; }
这三种优化会使得Dinic时间复杂度降低很多，这边测试是直接降了接近 300 MS 。
总代码如下：
#define IO freopen("test.in","r",stdin),freopen("test.out","w",stdout) #define inf 0x3f3f3f3f #define lson root<<1 #define rson root<<1|1 #include <set> #include <map> #include <deque> #include <queue> #include <stack> #include <cmath> #include <ctime> #include <bitset> #include <cstdio> #include <string> #include <vector> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <cassert> #include <iostream> #include <algorithm> #include <unordered_map> using namespace std; #define maxn 10008 #define inf 0x3f3f3f3f int N,M,S,T,cnt; int head[maxn],cur[maxn],d[maxn]; inline int read() { int x=0,w=0;char ch=0; while(!isdigit(ch)){w|=ch=='-';ch=getchar();} while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();} return w?-x:x; } struct Edge { int to; int val; int next; }edge[200008]; inline void add(int u,int v,int w) { edge[++cnt].to=v; edge[cnt].val=w; edge[cnt].next=head[u]; head[u]=cnt; return; } bool bfs() { queue<int> q; while(!q.empty()) q.pop(); for(int i=1;i<=N;i++) d[i]=-1; d[S]=0; q.push(S); while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next){ int v=edge[i].to; if(d[v]==-1&&edge[i].val>0){ d[v]=d[u]+1; q.push(v); } } } return d[T]!=-1; } int dfs(int u,int flow) { int nowflow=0; if(u==T) return flow; for(int i=cur[u];i!=-1;i=edge[i].next){ cur[u]=i; int v=edge[i].to; if(d[v]==d[u]+1&&edge[i].val>0){ if(int k=dfs(v,min(flow-nowflow,edge[i].val))){ edge[i].val-=k; edge[i^1].val+=k; nowflow+=k; if(nowflow==flow) break; } } } if(!nowflow) d[u]=-1; return nowflow; } int Dinic() { int ans=0; while(bfs()) { for(int i=1;i<=N;i++) cur[i]=head[i]; ans+=dfs(S,inf); } return ans; } int main() { //IO; N=read(),M=read(),S=read(),T=read(); int A,B,C; cnt=-1; for(int i=1;i<=N;i++) head[i]=-1; while(M--) { A=read(),B=read(),C=read(); add(A,B,C),add(B,A,0); } printf("%d\n",Dinic()); }