洛谷 P1646 [国家集训队]happiness 网络流 最小割 Dinic+当前弧优化

其他 2020-03-19 10:37:46 阅读次数: 0

题目链接：

https://www.luogu.com.cn/problem/P1646

参考博客：

https://siyuan.blog.luogu.org/solution-p1646

算法：网络流 最小割 Dinic+当前弧优化

图解：

思路：

1：总量减去最小割即为答案

2：对于每个点 (i,j) ，从 s 连一条容量为选择文科的边，到 t 连一条容量为选择理科的边

3：对于 (i,j) 和 (i+1,j) 两个点的组合情况。假设这两个点同时选文科有 w的喜悦值，我们新建一个节点 x ，从 s 向 x 连一条容量为喜悦值 w的边，再从 x 向 (i,j) 和 (i+1,j) 分别连一条容量为 inf 的边。对于左右前后、文科理科同理

4：每个点自然只能选择一个科目（文科或理科），当某个点选择了文科 s ，那么它向理科 t的边都应该要被断开。考虑哪些边会被断开：首先是它直接连向 t 的边，其次是它和别的点组合连向 t 的边，这样一来，这些边在网络图的割中是有贡献的，意味着这些边的容量在答案中没有贡献

5：即把所有的同学分为两类，要么是选择文科，要么是选择理科，通过割边，将其完全分开

注意：

1：一开始把错误原因归咎于：这个数据范围明明是自己画图，算出来的，但是数据还是开的太小了，真是教训呀
2：真正原因：数据算的没错，是自己手残了，把maxn=4e4+9e3+6e2+2，写成了maxn=1e4+9e3+6e2+2

 一：一共20个测试点，9个ac，11个TLE，（45分）用的是自己写的模板Dinic的Dinic函数

#include <bits/stdc++.h>
#define xuhao(i,j) ((i-1)*m+j)
//Dinic+当前弧优化

using namespace std;
const int maxn=4e4+9e3+6e2+2,maxm=2e5+7e4+7e3+6e2+1,inf=0x7fffffff;
//一开始把错误原因归咎于：这个数据范围明明是自己画图，算出来的，但是数据还是开的太小了，真是教训呀
//真正原因：数据算的没错，是自己手残了，把maxn=4e4+9e3+6e2+2，写成了maxn=1e4+9e3+6e2+2
//const int maxn=1e5+5,maxm=5e6+5,inf=0x7fffffff;
int n,m,a,s,t,tot=1,head[maxn],dep[maxn],ans,sum,cnt;//用上了分层图，可以用dep判重了
//cur[maxn]
struct edge
{
    int to,next,w;
}e[maxm];

void addedge(int x,int y,int w)
{
    e[++tot].to=y;e[tot].w=w;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
    e[++tot].to=x;e[tot].w=0;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;
}

bool bfs()//bool 函数是一个小优化，判断是否能搜到汇点，如果连汇点都搜不到还dfs干什么？
{
    memset(dep,0,sizeof dep);//一定要初始化
//    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    queue<int>q;
    q.push(s);dep[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to,w=e[i].w;
            if(w&&!dep[y])//如果有残余流量（没有的话谁也过不去）并且这个点是第一次到达
            {
                dep[y]=dep[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return dep[t];//t 的深度不为0，就是搜到了汇点
}

int dfs(int x,int flow)
{
    if(x==t)return flow;
    int sum=0;
    for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
    {
        //cur[x]=i;
        int y=e[i].to,w=e[i].w;
        if(w&&dep[y]==dep[x]+1)//仅允许流向下一层
        {
            int t=dfs(y,min(w,flow));
            e[i].w-=t;e[i^1].w+=t;
            flow-=t;sum+=t;
        }
    }
    if(!sum)dep[x]=0;//我与终点（顺着残余网络）不连通的话，那么上一层的点请别给我流量
    return sum;
}

//int dfs(int u,int flow) {
//    if(u==t) return flow;
//    int ans=0;
//    for(int i=head[u];i&&ans<flow;i=e[i].next) {
//     //   cur[u]=i;
//        int v=e[i].to;
//        if(e[i].w&&dep[v]==dep[u]+1) {
//            int x=dfs(v,min(e[i].w,flow-ans));
//            if(x) e[i].w-=x,e[i^1].w+=x,ans+=x;
//        }
//    }
//    if(ans<flow) dep[u]=-1;//说明这个点已经榨干
//    return ans;
//}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    s=0,t=n*m+2*(n-1)*m+2*n*(m-1)+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,xuhao(i,j),a);
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(xuhao(i,j),t,a);
    cnt=n*m;
    if(n-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i+1,j),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i+1,j),cnt,inf);
          }
    }
    if(m-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i,j+1),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i,j+1),cnt,inf);
          }
    }
    while(bfs())ans+=dfs(s,inf);
    printf("%d\n",sum-ans);
    return 0;
}

二：博客的Dinic函数，也没有+当前弧优化，但是ac啦

#include <bits/stdc++.h>
#define xuhao(i,j) ((i-1)*m+j)
//Dinic+当前弧优化

using namespace std;
const int maxn=4e4+9e3+6e2+2,maxm=2e5+7e4+7e3+6e2+1,inf=0x7fffffff;
//一开始把错误原因归咎于：这个数据范围明明是自己画图，算出来的，但是数据还是开的太小了，真是教训呀
//真正原因：数据算的没错，是自己手残了，把maxn=4e4+9e3+6e2+2，写成了maxn=1e4+9e3+6e2+2
//const int maxn=1e5+5,maxm=5e6+5,inf=0x7fffffff;
int n,m,a,s,t,tot=1,head[maxn],dep[maxn],ans,sum,cnt;//用上了分层图，可以用dep判重了
//cur[maxn]
struct edge
{
    int to,next,w;
}e[maxm];

void addedge(int x,int y,int w)
{
    e[++tot].to=y;e[tot].w=w;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
    e[++tot].to=x;e[tot].w=0;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;
}

bool bfs()//bool 函数是一个小优化，判断是否能搜到汇点，如果连汇点都搜不到还dfs干什么？
{
    memset(dep,0,sizeof dep);//一定要初始化
//    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    queue<int>q;
    q.push(s);dep[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to,w=e[i].w;
            if(w&&!dep[y])//如果有残余流量（没有的话谁也过不去）并且这个点是第一次到达
            {
                dep[y]=dep[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return dep[t];//t 的深度不为0，就是搜到了汇点
}

//int dfs(int x,int flow)
//{
//    if(x==t)return flow;
//    int sum=0;
//    for(int i=cur[x];i;i=e[i].next)
//    {
//        cur[x]=i;
//        int y=e[i].to,w=e[i].w;
//        if(w&&dep[y]==dep[x]+1)//仅允许流向下一层
//        {
//            int t=dfs(y,min(w,flow));
//            e[i].w-=t;e[i^1].w+=t;
//            flow-=t;sum+=t;
//        }
//    }
//    if(!sum)dep[x]=0;//我与终点（顺着残余网络）不连通的话，那么上一层的点请别给我流量
//    return sum;
//}

int dfs(int u,int flow) {
    if(u==t) return flow;
    int ans=0;
    for(int i=head[u];i&&ans<flow;i=e[i].next) {
     //   cur[u]=i;
        int v=e[i].to;
        if(e[i].w&&dep[v]==dep[u]+1) {
            int x=dfs(v,min(e[i].w,flow-ans));
            if(x) e[i].w-=x,e[i^1].w+=x,ans+=x;
        }
    }
    if(ans<flow) dep[u]=-1;//说明这个点已经榨干
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    s=0,t=n*m+2*(n-1)*m+2*n*(m-1)+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,xuhao(i,j),a);
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(xuhao(i,j),t,a);
    cnt=n*m;
    if(n-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i+1,j),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i+1,j),cnt,inf);
          }
    }
    if(m-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i,j+1),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i,j+1),cnt,inf);
          }
    }
    while(bfs())ans+=dfs(s,inf);
    printf("%d\n",sum-ans);
    return 0;
}

三：博客的Dinic+当前弧优化 ac

#include <bits/stdc++.h>
#define xuhao(i,j) ((i-1)*m+j)
//Dinic+当前弧优化

using namespace std;
const int maxn=4e4+9e3+6e2+2,maxm=2e5+7e4+7e3+6e2+1,inf=0x7fffffff;
//一开始把错误原因归咎于：这个数据范围明明是自己画图，算出来的，但是数据还是开的太小了，真是教训呀
//真正原因：数据算的没错，是自己手残了，把maxn=4e4+9e3+6e2+2，写成了maxn=1e4+9e3+6e2+2
//const int maxn=1e5+5,maxm=5e6+5,inf=0x7fffffff;
int n,m,a,s,t,tot=1,head[maxn],cur[maxn],dep[maxn],ans,sum,cnt;//用上了分层图，可以用dep判重了

struct edge
{
    int to,next,w;
}e[maxm];

void addedge(int x,int y,int w)
{
    e[++tot].to=y;e[tot].w=w;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
    e[++tot].to=x;e[tot].w=0;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;
}

bool bfs()//bool 函数是一个小优化，判断是否能搜到汇点，如果连汇点都搜不到还dfs干什么？
{
    memset(dep,0,sizeof dep);//一定要初始化
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    queue<int>q;
    q.push(s);dep[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to,w=e[i].w;
            if(w&&!dep[y])//如果有残余流量（没有的话谁也过不去）并且这个点是第一次到达
            {
                dep[y]=dep[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return dep[t];//t 的深度不为0，就是搜到了汇点
}

//int dfs(int x,int flow)
//{
//    if(x==t)return flow;
//    int sum=0;
//    for(int i=cur[x];i;i=e[i].next)
//    {
//        cur[x]=i;
//        int y=e[i].to,w=e[i].w;
//        if(w&&dep[y]==dep[x]+1)//仅允许流向下一层
//        {
//            int t=dfs(y,min(w,flow));
//            e[i].w-=t;e[i^1].w+=t;
//            flow-=t;sum+=t;
//        }
//    }
//    if(!sum)dep[x]=0;//我与终点（顺着残余网络）不连通的话，那么上一层的点请别给我流量
//    return sum;
//}

int dfs(int u,int flow) {
    if(u==t) return flow;
    int ans=0;
    for(int i=cur[u];i&&ans<flow;i=e[i].next) {
        cur[u]=i;
        int v=e[i].to;
        if(e[i].w&&dep[v]==dep[u]+1) {
            int x=dfs(v,min(e[i].w,flow-ans));
            if(x) e[i].w-=x,e[i^1].w+=x,ans+=x;
        }
    }
    if(ans<flow) dep[u]=-1;//说明这个点已经榨干
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    s=0,t=n*m+2*(n-1)*m+2*n*(m-1)+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,xuhao(i,j),a);
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(xuhao(i,j),t,a);
    cnt=n*m;
    if(n-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i+1,j),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i+1,j),cnt,inf);
          }
    }
    if(m-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i,j+1),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i,j+1),cnt,inf);
          }
    }
    while(bfs())
    {
        int x;
        while(x=dfs(s,inf))  ans+=x;
    }
    printf("%d\n",sum-ans);
    return 0;
}

四：博客的Dinic+当前弧优化，与三的区别在于最后如何调用dfs()函数了 ac

#include <bits/stdc++.h>
#define xuhao(i,j) ((i-1)*m+j)
//Dinic+当前弧优化

using namespace std;
const int maxn=4e4+9e3+6e2+2,maxm=2e5+7e4+7e3+6e2+1,inf=0x7fffffff;
//一开始把错误原因归咎于：这个数据范围明明是自己画图，算出来的，但是数据还是开的太小了，真是教训呀
//真正原因：数据算的没错，是自己手残了，把maxn=4e4+9e3+6e2+2，写成了maxn=1e4+9e3+6e2+2
//const int maxn=1e5+5,maxm=5e6+5,inf=0x7fffffff;
int n,m,a,s,t,tot=1,head[maxn],cur[maxn],dep[maxn],ans,sum,cnt;//用上了分层图，可以用dep判重了

struct edge
{
    int to,next,w;
}e[maxm];

void addedge(int x,int y,int w)
{
    e[++tot].to=y;e[tot].w=w;e[tot].next=head[x];head[x]=tot;
    e[++tot].to=x;e[tot].w=0;e[tot].next=head[y];head[y]=tot;
}

bool bfs()//bool 函数是一个小优化，判断是否能搜到汇点，如果连汇点都搜不到还dfs干什么？
{
    memset(dep,0,sizeof dep);//一定要初始化
    memcpy(cur,head,sizeof(head));
    queue<int>q;
    q.push(s);dep[s]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.front();q.pop();
        for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
        {
            int y=e[i].to,w=e[i].w;
            if(w&&!dep[y])//如果有残余流量（没有的话谁也过不去）并且这个点是第一次到达
            {
                dep[y]=dep[x]+1;
                q.push(y);
            }
        }
    }
    return dep[t];//t 的深度不为0，就是搜到了汇点
}

//int dfs(int x,int flow)
//{
//    if(x==t)return flow;
//    int sum=0;
//    for(int i=cur[x];i;i=e[i].next)
//    {
//        cur[x]=i;
//        int y=e[i].to,w=e[i].w;
//        if(w&&dep[y]==dep[x]+1)//仅允许流向下一层
//        {
//            int t=dfs(y,min(w,flow));
//            e[i].w-=t;e[i^1].w+=t;
//            flow-=t;sum+=t;
//        }
//    }
//    if(!sum)dep[x]=0;//我与终点（顺着残余网络）不连通的话，那么上一层的点请别给我流量
//    return sum;
//}

int dfs(int u,int flow) {
    if(u==t) return flow;
    int ans=0;
    for(int i=cur[u];i&&ans<flow;i=e[i].next) {
        cur[u]=i;
        int v=e[i].to;
        if(e[i].w&&dep[v]==dep[u]+1) {
            int x=dfs(v,min(e[i].w,flow-ans));
            if(x) e[i].w-=x,e[i^1].w+=x,ans+=x;
        }
    }
    if(ans<flow) dep[u]=-1;//说明这个点已经榨干
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    scanf("%d %d",&n,&m);
    s=0,t=n*m+2*(n-1)*m+2*n*(m-1)+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,xuhao(i,j),a);
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(xuhao(i,j),t,a);
    cnt=n*m;
    if(n-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i+1,j),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n-1;i++)
          for(int j=1;j<=m;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i+1,j),cnt,inf);
          }
    }
    if(m-1!=0)
    {
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(s,cnt,a);
              addedge(cnt,xuhao(i,j),inf);
              addedge(cnt,xuhao(i,j+1),inf);
          }
       for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=m-1;j++)
          {
              ++cnt;
              scanf("%d",&a),sum+=a,addedge(cnt,t,a);
              addedge(xuhao(i,j),cnt,inf);
              addedge(xuhao(i,j+1),cnt,inf);
          }
    }
    while(bfs())ans+=dfs(s,inf);
    printf("%d\n",sum-ans);
    return 0;
}
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