题解 P1731 【[NOI1999]生日蛋糕】—— 洛谷

自己想出这题的大佬蒟蒻在这儿%您了

我实在是太弱了，搜索这种辣鸡算法都不会（逃

这题真的是想了好久，每次都会T三个点，我以为我的剪枝已经堆了够多了，结果后来才知道是一个关键剪枝没想到OTZ

先贴代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rint register int 
int n, m, ans = 99999999;
int ini1[20], ini2[20];
inline void init( void ){
    for( rint i = 1; i <= m; i++ ){
        ini1[i] = pow( i, 3 ) + ini1[i - 1];
        ini2[i] = 2 * i * i + ini2[i - 1]; 
    }
    return ;
}
inline void dfs( int nowv, int nows, int r, int h, int t ){
    if( t == 0 ){
        if( nows == n ) ans = min( ans, nowv );
        return ;
        //cout << 1;
    }
    if( nowv + ini2[t - 1] >= ans ) return ;
    //cout << 1;
    if( nows + ini1[t - 1] >= n ) return;
    //cout << 1;
    if( 2 * ( n - nows ) / r + nowv >= ans ) return ;
    for( rint i = r - 1; i >= t; i-- ){
        //cout << 1;
        if( t == m ) nowv = i * i;
        int hh = min( h - 1, ( n - nows - ini1[t - 1] ) / ( i * i ) );
        for( rint j = hh; j >= t; j-- ){
            //cout << t << endl;
            dfs( nowv + 2 * i * j, nows + i * i * j, i, j, t - 1 );
        }
    }
    return ;
}
int main( void ){
    scanf( "%d%d", &n, &m );
    init();
    int temp = sqrt( n );
    //for( int i = 1; i <= m; i++ ) cout << ini[i] << ' ';
    dfs( 0, 0, temp + 1, n + 1, m );
    if( ans == 99999999 ){
        cout << 0;
        return 0;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

看这输出的1就知道我错了多少次，结果发现把一个t打成了 \(t - 1\) qwq

关键剪枝

if( 2 * ( n - nows ) / r + nowv >= ans ) return ;

这里详细推一下

1 到$ dep - 1$的体积为

\(n - v = \sum_{k = 1}^{dep - 1}h[k] * r[k] ^ 2\)

表面积为

$2\sum_{k = 1}^{dep - 1}h[k] *r[k] $

又臭又长警告

\(\because2\sum_{k = 1}^{dep - 1}h[k] *r[k] = \frac{2}{r[dep]} * \sum_{k = 1}^{dep - 1}h[k]*r[k]*r[dep]\geqslant \frac{2}{r[dep]} *\sum_{k = 1}^{dep - 1}h[k]*r[k]^2\geqslant \frac{2(n - v)}{r[dep]}\)
\(\therefore\)当$ \frac{2(n - v)}{r[dep]} + s \geqslant ans$时说明已经不是最优，即可return

这是对前\(dep - 1\)层侧面积的估计，很多人忽略了这一维度，其实，这一维度已经在我们预处理\(ini\)
（别激动，\(init\)删去\(t\)而已23333）时已经有所涉及，只是我们没有太在意而已

这告诉我们在设计剪枝条件的时候一定要全方面考虑
，每个维度都有所思考，尽可能到达上下界

return 0；//功德圆满