整数线性规划求解----分枝定界法
什么是整数规划?
线性规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中,变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
整数规划的分类
- 变量全限制为整数时，称(完全)整数规划
- 变量部分限制为整数时，称混合整数规划 什么是分枝定界法
原理如下：
设有最大化的整数规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数\(z^*\)的上界\(\overline{z}\)；而A的任意可行解的目标函数值将是 \(z^*\)的一个下界\(\underline z\) ,分枝定界法就是将B的可行域分成子区域的方法。逐步减小\(\overline z\)和增大\(\underline z\)最终求到\(z^*\)
本质就是个二分回溯,逼近最大值的算法。Matlab算法如下：（强烈警告，（不会验证）由于比较懒，并未对算法正确性验证，思路上验证了一下没问题就码上来了，如果有错，请一定联系~~）
% c,A,Aeq,Beq,LB,UB,是linprog函数的相关参数，知道了它们就可以求出对应的线性规划最优解，
% now是目前已经知道的整数解的最大值
function y = control(c,A,Aeq,Beq,LB,UB,now)
ret = 0;
[x,fval] = linprog(c,A,Aeq,Beq,LB,UB); % x是最优解的解向量，fval是对应的函数值
if fval < now
y = fval;
return;
end % 如果得到的当前最优解fval小于已知的now,那说明最优整数解不在这个区间，则剪枝返回。
for i = 1 : length(x)
if rem(x(i),1) ~= 0 % rem(x,1)如果返回值不为0,则表示是小数。遍历x,找到第一个小数xi.
NUB = UB;
NLB = LB;
NUB(i) = floor(x(i)); % 把xi对应的上界更新为xi的向下取整。
NLB(i) = ceil(x(i)); % 把xi对应的下届更新为xi的向上取整。
fval1 = control(c,A,Aeq,Beq,LB,NUB,now); %分成了两个区间， 原来下界~向下取整
now = max(fval1,now);
fval2 = control(c,A,Aeq,Beq,NLB,UB,now); % 向上取整~原来上届
ret = max(ret,fval1); % 更新得到整数最优解，并退出。
ret = max(ret,fval2);
break
end
if i == length(x) %如果每个xi都是整数，那说明当前已经是整数最优，用j记录一下
j = length(x)+1;
end
end
if j == length(x)+1 %如果当前已经是整数最优，返回fval，否则返回ret。
y = fval;
else
y = ret;
end
end非线性整数规划--蒙特卡洛算法（随机取样法）
什么是非线性规划？
就是自变量不再是线性的规划。没错就是这个。
蒙特卡洛算法
对于非线 性整数规划目前尚未有一种成熟而准确的求解方法，那么找到一个相对满意的解就成了主要需求。
蒙特卡洛算法是一种大量随机取样枚举解，以达到存在一种解，其函数值落在了我们期望的高值区（不要问我什么是高值区）。
那么具体多少次枚举合适呢？这是相对于问题而言的，举个例子：
\(0\leq x_i \leq 99 ，1 \leq i \leq 5, y = x_1^2 + x_2^2+3x_3^2+4x_4^2+2x_5^2-8x_1-2x_2-3x_3-x_4-2x_5\) ,
解空间大小为\(100^5 = 10^{10}\),太大了，枚举不了
如果选择随机采样1e6,假设最优点不是孤立的奇点，并设目标函数落在可以接受的高值区的概率是0.00001,那么存在一个点落在高值区的概率为 1-\(0.99999^{1000000}\) \(\approx\) 0.999954602,显然这个概率是可以接受的，也即是我们认为通过随机采样1e6，是能够得到满足期望的解。
随机采样的算法就不写了，因为太懒了（因为不会）。
今日感触：matlab的库函数是真的多，基础语法还是不行啊，以及数模的算法还挺有意思的，虽然高大上，其实也就那样。