9. 混合整数非线性规划：扩展割平面法

1. 混合整数非线性规划

混合整数非线性规划，英文为Mixed-Integer NonLinear Programming (MINLP) ，指的是既包含整数约束，也包含非线性约束的优化问题。

2. 扩展割平面法

扩展割平面（Extended cutting plane，ECP）的思路是：使用线性约束来代替逐步代替非线性约束进行求解。
假设求解问题是：
min $f(x,y)$
s.t. $g_1(x,y) ≤ 0$（混合整数约束）
$g_2(x,y) ≤ 0$（非线性约束）

扩展割平面法的求解的步骤是：
1. 求解去除非线性约束的松弛子问题
min $f(x,y)$
s.t. $g_1(x,y) ≤ 0$
2. 假设上面结果为$(x',y')$，对 $g_2(x,y) ≤ 0$中不满足的约束条件，添加割平面：
$g_2(x',y')+g_2'|_x(x',y')*(x-x') + g_2'|_y(x',y')*(y-y') ≤ 0$
然后再进行求解。添加了之后，约束条件还是一次的混合整数约束。
3. 不断迭代，直到 $g_2(x,y) ≤ 0$所有约束条件都满足。