现代通信原理2.3：为什么我们这么关注傅立叶变换？

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要到我们这门课程的第一个难点了，有些同学就是在这个部分掉了队，一直也没有再跟上。我想同学们觉得这个部分难，可能主要是公式比较多，我尽量把它简化下，把重点的东西拎出来，大家也需要多花一点精力才行。
这部分主要讲的是傅立叶变换，大家在《信号与系统》课程里面已经学习了很多，所以这里我准备就不再纠缠于傅立叶级数、可积条件等等，直接从傅立叶变化式入手，讨论傅立叶变换在通信系统中的应用。
现在我们先把傅立叶变换放下，看看什么是频谱，为什么我们要研究频谱。

1、什么是频谱？

前面我们讲波形的时候谈到，信号的频域特性，就是描述信号物理量大小随频率的变化关系。那么频谱密度，简称频谱，就是我们用到的第一种频域特性，另外两种频域特性，分别是能量谱密度和功率谱密度。那么这三种频域特性有什么区别呢？它们是描述信号不同参数随频率的变化关系，频谱密度是描述信号（电压或者电流）的幅度随频率的变化关系，能量谱和功率谱密度分别是描述信号的能量以及功率随频率的变化关系。它们有不同的应用场合，频谱密度用来描述确定信号，能量谱描述能量信号，而功率谱用来描述功率信号，更经常用来描述随机信号。
那么我们为什么要分析信号的频谱呢？这主要是因为我们在设计通信系统的时候，往往需要知道信号主要功率（或者能量）是集中在什么频带上呢？中心频率点是多少？带宽有多宽。频谱形状又是什么样子的呢…
现在的问题是，如果分析信号的频谱确实很重要，那么我们应该如何来获知信号的频谱呢？这就要用到信号的傅立叶变换了。

2、傅立叶变换的定义式

如果我们有函数 $g(t)$ ，它的自变量为 $t$ ，函数关系为 $g(\cdot)$ ，通过傅立叶变换式
$G(f)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t)e^{-2\pi ft}dt$ 我们可以得到一个新的函数 $G(f)$ ，它的自变量为 $f$ ，函数关系为 $G(\cdot)$ 。反过来也是这样，如果我们有函数 $G(f)$ ，它的自变量为 $f$ ，函数关系为 $G(\cdot)$ ，通过傅立叶反变换式，
$g(t)=\int_{-\infty}^{\infty}G(f)e^{2\pi ft}df$ 我们可以得到一个新的函数 $g(t)$ ，它的自变量为 $t$ ，函数关系为 $g(\cdot)$ 。
问题是，傅立叶变换与我们前面谈到的信号的频谱有什么关系呢？
答案是，如果一个信号的与时间函数关系（波形）为 $g(t)$ ，那么通过傅立叶变化得到的信号的函数 $G(f)$ ，正好是信号的频谱。
很奇妙是不是？我们可以用公式推出来一个信号的频谱密度。这也就是我们这么关注傅立叶变换的原因！