算法笔记·并查集

并查集

并查集我个人认为一种用来处理某些特殊数据结构的算法，其优点在于程序简短，能够快速简洁的表达出点与点，数于数之间的关系。

这种算法有两个操作，合并与查询

• 合并：能够高时效的将某一些符合题目要求的数据合并在一个集合中
• 查询：能够高时效的查询某个指定数据是否存在于某个集合之中，或者是计算满足题目要求的集合数量

那么这个算法是如何运作的呢？

接下来我们看几道例题

例题1.亲戚

Luogu传送门

这是一道十分简单的并查集入门题，这里用来讲述并查集的运作思路。

根据题意，如果B是A的亲戚，C是B的亲戚，那么ABC三个人互为亲戚，也就是说ABC三个节点可以被放置在同一个集合当中，为了方便表述，我们可以认为这是一颗树，A是根，B是A的子节点，C是B的子节点。

由此，我们便可以利用并查集，将有亲戚关系的两个节点，进行建边，即将两个有亲戚关系的节点所处的集合进行合并，在查询时，只要利用一个递归，不停向上询问，直到问到自己的根节点，如根节点相同，便是有亲戚关系。

但是，还有一个问题，如此下来某个点都向上询问一遍，将会耗费大量的时间，那么何来高时效之说呢？

这里我们需要对并查集做一个优化，使其能更快的计算出自己的根节点，我称之为缩点，将所有有关系的点都进行直接挂靠，也就是说，构造出一颗深度为2的树，如图。

如此一来，在查询的时候就可以直接访问到自己的根节点了。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
int n,m,a,b,fa[10005];
int find(int x){   //查询函数
    if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);  //缩点：反复向上询问，询问到根节点才赋值
    return fa[x];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;} //初始化，开始时每个节点都是一个根节点
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        a=find(a);b=find(b);
        if(a!=b) fa[b]=fa[a];  //合并
    }
    int Q;
    scanf("%d",&Q);
    for(register int i=1;i<=Q;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(find(a)==find(b)) printf("Yes\n");  //根节点相同
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

通过这道题目,我们可以了解了并查集的基本运行思路，其实很多题的基本代码也是依照这个作为模板，不过在此基础上作出一些变化。

例题2.黑社会团伙

Luogu传送门

由题意可知，这题与上一题大题框架一样，变化的地方在于

• 求集合数量
• 多出了新的概念，我敌人的敌人也是我的朋友

由新的概念便可以引申出许多新的关系，稍作整理，就有如下几条

• 我朋友的朋友是我的朋友
• 我朋友的敌人是我的敌人
• 我敌人的敌人是我的朋友
• 我敌人的朋友是我的敌人

这时如果仅用原来的单个集合进行计算，就会发现难以表现如上的4种情况，在上一题中，只存在两种情况，是我的亲戚，或者不是，而在该例题中，存在3种情况，是朋友，是敌人，或者两者没有关系。

在上一题中我们用了一棵图来描述人与人之间的亲戚关系，两点之间有建边即为亲戚关系，无建边则没有关系，也就是将有亲戚关系的集合互相合并，那么在这一题中，我们依然可以沿用这样的思路，不过这题我们需要两张图，一张用以表现朋友关系，一张用以表现敌人关系，两张图中的节点可以互相映射。

那么接下来就是编写代码，我们个可以使用n的空间表示朋友，n的空间表示敌人，总共使用2*n的空间。

如何编写两棵树之间节点互相的关系映射，假设两人A,B，当A与B是朋友时，在朋友关系图中将B点与A点建边，另外在B的敌人关系图中查找B的敌人，在敌人关系图中将该节点与A节点建边。

假设A与B是朋友，A与C是朋友，B与D是敌人，如图

反之，亦可成立，即A与B是敌人时，将B点与A点在敌人关系树中建边，同时，在敌人关系树图中寻找与A有关的节点(除了B)，在朋友关系图中将该节点与B节点建边。

假设A与B是敌人，A与C是敌人，B与D是朋友，如图

假设表示朋友的集合是P，P的反集即表示敌人的集合是D

则用数学的集合语言来表示就是

• A与B是朋友：
  1. \(P(A) \cup P(B)\) 朋友的朋友是朋友
  2. \(D(A) \cup D(B)\) 朋友的敌人是敌人
• A与B是敌人：
  1. \(F(A) \cup P(B)\) 敌人的敌人是朋友
  2. \(D(A) \cup F(B)\) 敌人的朋友是敌人

然后，再利用缩点来提高代码的运行效率，就可以达到“Ac的真实了！”

但是如何实现上述的关系转化？

Fa数组开2*N空间，然后1对应n+1，2对应n+2，3对应n+3，以此类推，也就是1—n表示集合P，n+1—n+n表示P的反集，集合D，而计算团伙数量只要枚举一下所有的点，看看有几个点的fa数组没有被修改过，因为缩点以后，根节点必定对应他自己，所以计算根节点的数量即为集合数量。

上代码！

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#include <iostream>
int fa[50005];
int find(int a){
    if(fa[a]!=a) fa[a]=find(fa[a]);  //缩点
    return fa[a];
}
int main(int argc, char const *argv[]){
    int n,m;scanf("%d%d",&n,&m);
    for (register int i = 1; i <= 2*n; ++i){ fa[i]=i; }  //初始化
    for (register int i = 1; i <= m; ++i){
        char cmd;std::cin>>cmd;
        int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);
        if (cmd =='F'){
            fa[find(a)]=find(b);   //朋友集合相并
            fa[find(a+n)]=find(b+n);  //敌人集合相并
        }else{
            fa[find(a+n)]=find(b);  //敌人的朋友是敌人
            fa[find(b+n)]=find(a);  //敌人的敌人是朋友
        }
    }
    int ans=0;
    for (register int i = 1; i <= n; ++i){
        if(fa[i]==i) ans++;  //枚举集团数量
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

之后还有例题就再扩充吧www

通过上面的例题我们可以看到，并查集的本质其实就是求同存异，将具有某一相同特性或关系的数据合并在同个集合之中，并查集的代码量并不大，但是却能够清楚的描述出我们所需要的数据关系。

我个人认为并查集是一种十分优秀的算法，简短高效，值得去了解和钻研，问题就是你能不能去合理的运用，用得好就是一把利器，削铁如泥。

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