并查集·算法笔记

并查集

并查集我个人认为一种用来处理某些特殊数据结构的算法

这种算法有两个操作，合并与查询

• 合并：能够高时效的将某一些符合题目要求的数据合并在一个集合中
• 查询：能够高时效的查询某个指定数据是否存在于某个集合之中，或者是计算满足题目要求的集合数量

那么这个算法是如何运作的呢？

接下来我们看几道例题

1. 亲戚：并查集的基本运行思路(点我跳转qaq)
2. 黑社会团伙：反集与补集思想(点我跳转qaq)

例题1.亲戚

Luogu传送门

这是一道十分简单的并查集入门题，这里用来讲述并查集的运作思路。

根据题意，我们可以得到如果B是A的亲戚，C是B的亲戚，那么ABC三个人互为亲戚，也就是说ABC三个节点可以被放置在同一个集合当中，为了方便表述，我们可以认为这是一棵树，A是根，B与C都是A的子节点。

由此，我们便可以利用并查集，将有亲戚关系的两个节点，进行挂靠，在查询时，只要利用一个递归，不停向上询问，直到问到自己的根节点，如根节点相同，便是有亲戚关系。

但是，还有一个问题，如此下来某个点都向上询问一遍，将会耗费大量的时间，那么何来高时效之说呢？

这里我们需要对并查集做一个优化，使其能更快的计算出自己的根节点，我称之为缩点，将所有有关系的点都进行直接挂靠，也就是说，构造出一颗深度为2的树，如图。

如此一来，在查询的时候就可以直接访问到自己的根节点了。

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
int n,m,a,b,fa[10005];
int find(int x){   //查询函数
    if(fa[x]!=x) fa[x]=find(fa[x]);  //缩点：反复向上询问，询问到根节点才赋值
    return fa[x];
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(register int i=1;i<=n;i++){fa[i]=i;} //初始化，开始时每个节点都是一个根节点
    for(register int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        a=find(a);b=find(b);
        if(a!=b) fa[b]=fa[a];  //合并
    }
    int Q;
    scanf("%d",&Q);
    for(register int i=1;i<=Q;i++){
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(find(a)==find(b)) printf("Yes\n");  //根节点相同
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

通过这道题目,我们可以了解了并查集的基本运行思路，其实很多题的基本代码也是依照这个作为模板，不过在此基础上作出一些变化。

例题2.黑社会团伙

Luogu传送门

由题意可知，这题与上一题大题框架一样，变化的地方在于

• 求集合数量
• 多出了新的概念，我敌人的敌人也是我的朋友

由新的概念便可以引申出许多新的关系，稍作整理，就有如下关系

• 我朋友的朋友是我的朋友
• 我朋友的敌人是我的敌人
• 我敌人的敌人是我的朋友
• 我敌人的朋友是我的敌人

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未完待续......