剑指offer 整数中1出现的次数（从1到n整数中1出现的次数）

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

 

思路一：计算区间内每个数含有1的个数，并累加起来。

 1 class Solution {
 2 private:
 3     int NumberOf1(unsigned int n) {
 4         int cnt = 0;
 5         while (n) {
 6             if (n % 10 == 1) {
 7                 cnt++;
 8             }
 9             n /= 10;
10         }
11         return cnt;
12     }
13 public:
14     int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
15     {
16         int number = 0;
17         for (unsigned int i = 1; i <= n; ++i) {
18             number += NumberOf1(i);
19         }
20         return number;
21     }
22 };

思路二：利用数学归纳法，直接对n进行分析，归纳总结规律

例如n=abcde五位数，我们分析百位的c，主要有以下三种情况：

1）当c == 0的时候，比如13013，此时百位出现1的是：00 100 ~ 00 199， 01 100~01 199，……，11 100~ 11 199，12100~12199共1300个，显然这个由高位数字决定，并且受当前位数影响，结果为：（高位数字）乘以（当前位数）；
2）当c == 1的时候，比如13113，此时百位出现1的肯定包括c=0的情况，另外还需要考虑低位的情况即：00100 ~ 00113共114个，结果为：（高位数字）乘以（当前位数）+（低位数字）+1；
3）当c >= 2的时候，比如13213，此时百位出现1的是：00 100 ~ 00 199， 01 100~01 199，……，11 100~ 11 199，12 100 ~ 12 199，13100~13199，共1400个，这个仅由高位数字决定，结果为：（高位数字+1）乘以当前位数。

 1 class Solution {
 2 public:
 3     int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
 4     { 
 5         long long lower, higher, cur;
 6         long long cnt = 0;
 7         long long factor = 1;
 8         for (int i = 1; i <= n; i *= 10) {
 9             lower = n % i;
10             higher = n / (i * 10);
11             cur = (n / i) % 10;
12             if (cur == 0) {
13                 cnt += higher * i;
14             } else if (cur == 1) {
15                 cnt += higher * i + lower + 1;
16             } else {
17                 cnt += (higher + 1) * i;
18             }
19         }
20         return cnt;
21     }
22 };

思路三：数位dp （正在学习中）

 1 class Solution {
 2     public:
 3         int dp[30][30];
 4         int digit[30];
 5         
 6         int dfs(int l, int cnt, bool flag) {
 7             if (l == 0) return cnt;
 8             if (!flag && ~dp[l][cnt]) return dp[l][cnt];
 9             int pos = flag ? digit[l] : 9;
10             int ret = 0;
11             for (int i = 0; i <= pos; i++) {
12                 ret += dfs(l - 1, cnt + (i == 1), flag && (pos ==i));
13             }
14             if (!flag) dp[l][cnt] = ret;
15             return ret;
16         }
17         
18         int countDigitOne(int n) {
19             memset(dp, -1, sizeof(dp));
20             int pos = 0;
21             while(n) {
22                 digit[++pos] = n % 10;
23                 n /= 10;
24             }
25             return dfs(pos, 0, true);
26         }
27 };