《剑指offer》---------整数中1出现的次数

题目

求出1-13的整数中1出现的次数,并算出100-1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数（从1 到 n 中1出现的次数）。

方法一

暴力法：挨个遍历求出每个数中一的个数，还是比较好理解的，第一个函数就是求当前数中的1的个数，下面的函数依次遍历即可。

class Solution {
public:
    int Number( int n)
    {
        int number=0;
        while(n)
        {
            if(n%10==1)
                ++number;
            n=n/10;
        }
        return number;
    }
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
     int number=0;
         
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            number+=Number(i);
        }
        return number;
    }
};

方法二

既然遍历法算法复杂度较高，那么就要从数字的规律中去寻找解决办法了，当然我想不出来，看了很多篇博客终于发现一篇不错的解释：就是将数n的每一位拿出来单独讨论，每一位的值计做weight,看看各自位的1的个数.

1.个位

当数从1到n依次递增的时候，我们发现个位的数字weight从0-9在不断循环，每出现一次0-9，个位就会有个1，那么我们知道个位从0-9循环多少次是不是就相当于知道个位出现多少次1了，那么怎么知道0-9的玄幻次数呢? 这取决于n的高位是多少，如图：

这里n=534,对于个位来说高位就是它前面这几位的数字，就是说534的个位从0-9循环了53次，大家想想是不是这么回事，每循环一次个位的1出现一次，所以出现了53次，我们把循环次数记为round，再来看weight值为4，说明第54循环开始了！但是它只从0走到了4，但是这里面也包含一次1啊，所以必须再加1啊，计次数为count,那么：
　 　　　　　　　　 count=round+1=53+1=54;
这是个位数weight大于0的情况，如果正好等于0，那么就不用加一，说明刚好进行了53次循环，即n=530是：
　　　　　　　　　 count=round=53;

2.十位

对于10位，还是可以按照个位的方式统计1的次数，如图;

不同之处就是 当数从1开始递增式时每增加10个，weight才加一，也就是满10进一，因为此时讨论的是10位，所以weight落在10位上，大家不要搞混·，所以当weight从0-9递增时，（记住这里是10位的递增），1出现了10次！不懂？其实说白了就是当weight为1时计数，例如110,111,11,2…119，这里10位上1的个数为10，这是weight为1的时候，当weight从2-9递增时都不会出现1，这回你懂了么，那么weight要从0-9循环几次相对应的1的个数就是 （循环次数10），
count=round * 10
再来看weight具体数值的影响：
当weight大于1时，当n=534时·，说明已经循环5次了，第六次循环也开始了weight从0走到了3，这其中也包含1,1的个数为10；所以1的总个数为：
count=round * 10+10=510+10=60;
当weight等于0时 即n=504,说明第六次循环到0就停止了，
count=round * 10=50;
当weight等于1即n=514时，第6次出现了多少次1呢，这与个位数有关，设个位数为former,则1出现了former+1次
count=round * 10+former+1=5*10+4+1=55;

3.更高为位

与10位一致。

4) 总结

将n的各个位分为两类：个位与其它位。
对个位来说：

若个位大于0，1出现的次数为round1+1
若个位等于0，1出现的次数为round1
对其它位来说，记每一位的权值为base，位值为weight，该位之前的数是former，举例如图：

则：
若weight为0，则1出现次数为roundbase
若weight为1，则1出现次数为roundbase+former+1
若weight大于1，则1出现次数为rount*base+base
比如：

534 = （个位1出现次数）+（十位1出现次数）+（百位1出现次数）=（531+1）+（510+10）+（0100+100）= 214
530 = （531）+（510+10）+（0100+100） = 213
504 = （501+1）+（510）+（0100+100） = 201
514 = （511+1）+（510+4+1）+（0100+100） = 207
10 = (11)+(010+0+1) = 2

代码

class Solution {
public:
    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)
    {
      int round=n;
      int count=0;
      int base=1;
        while(round)
        {
          int weight=round%10;
            round=round/10;
            count+=round*base;
            if(weight==1)
                count+=(n%base)+1;
            if(weight>1)
                count+=base;
            base*=10;
        }
        return count;
    }
};