Problem Description
Given two positive integers G and L, could you tell me how many solutions of (x, y, z) there are, satisfying that gcd(x, y, z) = G and lcm(x, y, z) = L?
Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.
Note, gcd(x, y, z) means the greatest common divisor of x, y and z, while lcm(x, y, z) means the least common multiple of x, y and z.
Note 2, (1, 2, 3) and (1, 3, 2) are two different solutions.
Input
First line comes an integer T (T <= 12), telling the number of test cases. The next T lines, each contains two positive 32-bit signed integers, G and L. It’s guaranteed that each answer will fit in a 32-bit signed integer.
Output
For each test case, print one line with the number of solutions satisfying the conditions above.
Sample Input
2 6 72 7 33
Sample Output
72 0
大概题意:
给出T组数据每组数据有两个数分别为x,y,z的最大公约数和
最小公倍数,让我们求出x,y,z总共有多少组不同组合方式;
具体思路:
考虑先分解最小公倍数。合数分解后,再分解最大公约数,可知,如果最大公约数中有最小公倍数中没有的质因数因子的话,那么答案肯定为0
然后考虑每一个因子pi有设合数分解最小公倍数的个数为bi合数分解最大公约数的个数为bi
下面有两种考虑方法
1.排列组合:
易得三个数中的对于pi的情况必须有一个个数是bi,另一个是ai,然后就可以先选出两个位置一个bi一个ai然后最后一个位置上的个数一定介于ai和bi之间即(bi-ai-1)种情况。
所以最后的公式为ans *= A(3,2)*(bi-ai-1) = 6*(bi-ai-1) ;
注意:
如果先筛素数的时候筛到1^6 然后如果L除以最后一个素数的时候不等于1,那么说明它(L的最后一个因子)一定是大于10^6的一个素数,因为10^12 = 10^6^2 > x^2>y;如果y存在
一个非素数的因子k的话,有k*t = y 且k>x,则t<x则t已经被筛掉了。 所以剩下的因子一定是素因子。一开始没有考虑这种特殊情况wa掉了。还要注意只有当(bi-ai-1) 有意义的时候才可以计算,因为如果bi==ai的时候可以发现正确结果是对于这一位应该是只用一种情况,就是三个数都相等,所以要特判一下。
2. 容斥定理:
同样是考虑每个因子,有所有的情况是每个位置都可以取(bi-ai+1)种情况即(bi-ai+1)^3,要减去没有bi个因子的情况和没有ai个因子的情况即2*(bi-ai)^3
然后发现减多了,要加上同时没有因子ai和bi的情况即(bi-ai-1)^3 这里同样要注意上面的注意。
操作代码如下:
#include<iostream> using namespace std; #define N 100100 #define ll long long ll d[N][2],e[N][2],cntn,cntm; void devide(int n,int m) { cntn=cntm=0; for(int i=2;i*i<=n;i++) { if(n%i==0) { int num=0; while(n%i==0) { num++; n/=i; } d[++cntn][0]=i,d[cntn][1]=num; } } for(int i=2;i*i<=m;i++) { if(m%i==0) { int num=0; while(m%i==0) { num++; m/=i; } e[++cntm][0]=i,e[cntm][1]=num; } } if(n>1)d[++cntn][0]=n,d[cntn][1]=1; if(m>1)e[++cntm][0]=m,e[cntm][1]=1; } ll solve(int n,int m) { if(m%n!=0) return 0; devide(n,m); ll ans=1,v; for(int i=1;i<=cntm;i++) { int flag=0; for(int j=1;j<=cntn;j++) if(e[i][0]==d[j][0]) { flag=1; v=j; break; } if(!flag) ans=ans*6*e[i][1]; else { ll t=e[i][1]-d[v][1]; if(t==0)continue; ans=ans*6*t; } } return ans; } int main() { int t; int n,m; cin>>t; while(t--) { cin>>n>>m; ll ans=solve(n,m); cout<<ans<<endl; } return 0; }
实践是检验真理的唯一标准;