洛谷P3959——宝藏

传送门：QAQQAQ

题意：

参与考古挖掘的小明得到了一份藏宝图，藏宝图上标出了

小明决心亲自前往挖掘所有宝藏屋中的宝藏。但是，每个宝藏屋距离地面都很远，也就是说，从地面打通一条到某个宝藏屋的道路是很困难的，而开发宝藏屋之间的道路则相对容易很多。

小明的决心感动了考古挖掘的赞助商，赞助商决定免费赞助他打通一条从地面到某个宝藏屋的通道，通往哪个宝藏屋则由小明来决定。

在此基础上，小明还需要考虑如何开凿宝藏屋之间的道路。已经开凿出的道路可以任意通行不消耗代价。每开凿出一条新道路，小明就会与考古队一起挖掘出由该条道路所能到达的宝藏屋的宝藏。另外，小明不想开发无用道路，即两个已经被挖掘过的宝藏屋之间的道路无需再开发。

新开发一条道路的代价是：

$\mathrm{L} \times \mathrm{K}L×K$

L代表这条道路的长度，K代表从赞助商帮你打通的宝藏屋到这条道路起点的宝藏屋所经过的宝藏屋的数量（包括赞助商帮你打通的宝藏屋和这条道路起点的宝藏屋）。

请你编写程序为小明选定由赞助商打通的宝藏屋和之后开凿的道路，使得工程总代价最小，并输出这个最小值。

思路：看数据范围，$n<=12$，很自然而然想到状态压缩。

我们用$dp[i][mask]$保存从$i$开始挖，当前状态为$mask$的最少花费

现在的难点在于如何处理$K$——这个点在这棵树中的深度。

我们用$dis[i][mask]$保存在当前状态为$mask$，且当前答案最优，第$i$个点在树中的深度加一（为什么要加一？转移时好看一点嘛~~~）

我们可能会担心，当前$mask$最佳的连图方式无法保证它扩展到下一个节点的答案最优，但考虑到对于要被更新的$mask'$，总有一种之前最佳的$mask$连上一条边会使当前$mask'$答案最优。

而且被更新的$mask'$一定大于$mask$，所以每一个$dp[i][mask]$都会被更新到最优，那么我们在最后更新一下$ans$就可以啦~~~

代码：（之前并没有保存对于每一个$mask$的$dis$，导致可能最优连图和点的深度不对应，甚至答案会偏小（详见我洛谷上40分代码，即保存的是最小深度，而不是最优连图下的深度））

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=10200;
const ll inf=(int)2e9;

ll dp[15][5005],n,m;
ll E[21][21],dis[5005][21];

void checkmin(ll &x,ll y)
{
    if(x>y) x=y;
}

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++) E[i][j]=inf;
    }
    int full=(1<<n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<full;j++) dp[i][j]=inf;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y; ll z;
        scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
        x--; y--; if(x==y) continue;
        E[x][y]=min(z,E[x][y]);
        E[y][x]=min(z,E[y][x]);
    }
    for(int start=0;start<n;start++)
    {
        dis[(1<<start)][start]=1; dp[start][(1<<start)]=0;
        for(int mask=0;mask<full;mask++)
        {
            if(!(mask>>start)&1) continue;
            for(int from=0;from<n;from++)
            {
                if(!(mask>>from)&1) continue;
                for(int to=0;to<n;to++)
                {
                    if((mask>>to)&1) continue;
                    if(dp[start][mask]==inf||dis[mask][from]==0) continue;
                    if(E[from][to]==inf) continue;
                    int mask1=mask|(1<<to);
                    if(dp[start][mask1]>dp[start][mask]+dis[mask][from]*E[from][to])
                    {
                        dp[start][mask1]=dp[start][mask]+dis[mask][from]*E[from][to];
                        for(int p=0;p<n;p++) dis[mask1][p]=dis[mask][p];
                        dis[mask1][to]=dis[mask][from]+1;
                    }
                }
            }
        }
    }
    ll ans=inf;
    for(int i=0;i<n;i++) checkmin(ans,dp[i][full-1]);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

View Code

（本来以为这种做法是错的，兴致勃勃地造了一组数据结果发现hack不掉。。。现在才真正懂）

洛谷P3959——宝藏

猜你喜欢