BZOJ 2324: [ZJOI2011]营救皮卡丘 最短路+费用流

title

BZOJ 2324
LUOGU 4542
Description

皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。
火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。
由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。
为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。
K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。
野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。
请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！

Input

第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。
接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为Ai，Bi，Li。表示存在一条从Ai号据点到Bi号据点的长度为Li的道路。

Output

仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。

Sample Input

3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1

Sample Output

3
【样例说明】
小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。

HINT

对于100%的数据满足N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, Li ≤ 10 000, 保证小智一行一定能够救出皮卡丘。至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。

Source

Day2

analysis

简化题意：

用最多经过 \(k\) 条经过 \(0\) 的路径覆盖所有点。

预处理的话，设 \(d[i][j]\) 表示从 \(i\) 到 \(j\) 不经过大于 \(\max(i,j)\) 的点的最短路，显然可以用 \(floyed\) 求。

建图：

1. 每个点拆点，连边；
2. 源点向 0 的入点连流量 \(k\) 费用 0 的边，表示最多经过 0 点 \(k\) 次；
3. 源点向其余每个点的入点连流量 1 费用 0 的边；
4. 每个 \(i\) 的入点向 \(j(j>i)\) 连流量 1 费用 \(d[i][j]\) 的边；
5. 每个点出点向汇点连流量 1 费用 0 的边；
6. 跑个最小费用即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+10,maxm=1e6+10,inf=0x3f3f3f3f;

char buf[1<<15],*fs,*ft;
inline char getc() { return (ft==fs&&(ft=(fs=buf)+fread(buf,1,1<<15,stdin),ft==fs))?0:*fs++; }
template<typename T>inline void read(T &x)
{
    x=0;
    T f=1, ch=getchar();
    while (!isdigit(ch) && ch^'-') ch=getchar();
    if (ch=='-') f=-1, ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48), ch=getchar();
    x*=f; 
}

template<typename T>inline void write(T x)
{
    if (!x) { putchar('0'); return ; }
    if (x<0) putchar('-'), x=-x;
    T num=0, ch[20];
    while (x) ch[++num]=x%10+48, x/=10;
    while (num) putchar(ch[num--]);
}

int ver[maxm<<1],edge[maxm<<1],Next[maxm<<1],cost[maxm<<1],head[maxn],len=1;
inline void add(int x,int y,int z,int c)
{
    ver[++len]=y,edge[len]=z,cost[len]=c,Next[len]=head[x],head[x]=len;
    ver[++len]=x,edge[len]=0,cost[len]=-c,Next[len]=head[y],head[y]=len;
}

int s,t;
int dist[maxn],incf[maxn],pre[maxn];
bool vis[maxn];
inline bool spfa()
{
    memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
    memset(vis,0,sizeof(vis));
    queue<int>q;q.push(s);
    dist[s]=0,vis[s]=1,incf[s]=1<<30;
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        vis[x]=0;
        for (int i=head[x]; i; i=Next[i])
        {
            if (!edge[i]) continue;
            int y=ver[i];
            if (dist[y]>dist[x]+cost[i])
            {
                dist[y]=dist[x]+cost[i];
                incf[y]=min(incf[x],edge[i]);
                pre[y]=i;
                if (!vis[y]) q.push(y),vis[y]=1;
            }
        }
    }
    if (dist[t]==inf) return false;
    else return true;
}

long long maxflow,ans;
inline void update()
{
    int x=t;
    while (x!=s)
    {
        int i=pre[x];
        edge[i]-=incf[t];
        edge[i^1]+=incf[t];
        x=ver[i^1];
    }
    maxflow+=incf[t];
    ans+=dist[t]*incf[t];
}

int d[201][201];
int main()
{
    int n,m,k;read(n);read(m);read(k);
    for (int i=0; i<=n; ++i)
        for (int j=0; j<=n; ++j)
            if (i!=j) d[i][j]=inf;
    for (int i=1,x,y,z; i<=m; ++i) read(x),read(y),read(z),d[x][y]=d[y][x]=min(d[x][y],z);
    for (int k=0; k<=n; ++k)
        for (int i=0; i<=n; ++i)
            for (int j=0; j<=n; ++j)//这道题比较sb地把0点搞成图中的一个点
                if (k<max(i,j)) d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);//floyed，保证经过点最大值<max(i,j)
    s=n<<1|1,t=s+1;
    for (int i=0; i<=n; ++i)
    {
        add(s,i,!i?k:1,0),add(i+n,t,1,0);//0点要保证k个人都过去
        for (int j=i+1; j<=n; ++j) add(i,j+n,1,d[i][j]);//i->j
    }
    while (spfa()) update();//好像没有上下界，只有上界乎？
    write(ans),puts("");
    return 0;
}