洛谷 P4542 [ZJOI2011]营救皮卡丘费用流

题目描述
皮卡丘被火箭队用邪恶的计谋抢走了！这三个坏家伙还给小智留下了赤果果的挑衅！为了皮卡丘，也为了正义，小智和他的朋友们义不容辞的踏上了营救皮卡丘的道路。

火箭队一共有N个据点，据点之间存在M条双向道路。据点分别从1到N标号。小智一行K人从真新镇出发，营救被困在N号据点的皮卡丘。为了方便起见，我们将真新镇视为0号据点，一开始K个人都在0号点。

由于火箭队的重重布防，要想摧毁K号据点，必须按照顺序先摧毁1到K-1号据点，并且，如果K-1号据点没有被摧毁，由于防御的连锁性，小智一行任何一个人进入据点K，都会被发现，并产生严重后果。因此，在K-1号据点被摧毁之前，任何人是不能够经过K号据点的。

为了简化问题，我们忽略战斗环节，小智一行任何一个人经过K号据点即认为K号据点被摧毁。被摧毁的据点依然是可以被经过的。

K个人是可以分头行动的，只要有任何一个人在K-1号据点被摧毁之后，经过K号据点，K号据点就被摧毁了。显然的，只要N号据点被摧毁，皮卡丘就得救了。

野外的道路是不安全的，因此小智一行希望在摧毁N号据点救出皮卡丘的同时，使得K个人所经过的道路的长度总和最少。

请你帮助小智设计一个最佳的营救方案吧！

输入输出格式

输入格式：
第一行包含三个正整数N，M，K。表示一共有N+1个据点，分别从0到N编号，以及M条无向边。一开始小智一行共K个人均位于0号点。

接下来M行，每行三个非负整数，第i行的整数为 $A_i$ ， $B_i$ ， $L_i$ 。表示存在一条从 $A_i$ 号据点到 $B_i$ 号据点的长度为 $L_i$ 的道路。

输出格式：
仅包含一个整数S，为营救皮卡丘所需要经过的最小的道路总和。

输入输出样例

输入样例#1：
3 4 2
0 1 1
1 2 1
2 3 100
0 3 1
输出样例#1：
3
说明

【样例说明】

小智和小霞一起前去营救皮卡丘。在最优方案中，小智先从真新镇前往1号点，接着前往2号据点。当小智成功摧毁2号据点之后，小霞从真新镇出发直接前往3号据点，救出皮卡丘。

对于 $100\%$ 的数据满足
$N ≤ 150, M ≤ 20 000, 1 ≤ K ≤ 10, L_i ≤ 10 000$ 。
保证小智一行一定能够救出皮卡丘。至于为什么K ≤ 10，你可以认为最终在小智的号召下，小智，小霞，小刚，小建，小遥，小胜，小光，艾莉丝，天桐，还有去日本旅游的黑猫警长，一同前去大战火箭队。

分析：
先跑出 $f[i][j]$ 表示从 $i$ 走到 $j$ 的合法路径的最短路，这个显然可以用floyed跑出来。然后相当于形成了一个 $DAG$ ，相当于跑这个图的最小权路径覆盖。
把每个点 $i$ 拆成 $i'$ 和 $i''$ 。对于一条连接 $u$ 和 $v$ 的有向边，就连一条 $u'$ 到 $v''$ 的 $(1,f[u][v])$ 的边， $S$ 向 $i'$ 连一条 $(1,0)$ 的边， $i''$ 向 $T$ 连一条 $(1,0)$ 的边，因为可以使用小于等于 $k$ 条路径进行覆盖，所以 $S$ 向 $0'$ 连一条 $(k,0)$ 的边。
因为这个图一定有完全匹配，所以最小费用最大流就是答案。

代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>

const int maxe=6e4+7;
const int maxn=507;
const int inf=0x3f3f3f3f;

using namespace std;

int n,m,K,s,t,x,y,w,cnt,ans;
int f[maxn][maxn],ls[maxn],dis[maxn],pre[maxn],v[maxn];

queue <int> q;

struct edge{
    int x,y,w,c,op,next;
}g[maxe];

void add(int x,int y,int w,int c)
{
    g[++cnt]=(edge){x,y,w,c,cnt+1,ls[x]};
    ls[x]=cnt;
    g[++cnt]=(edge){y,x,0,-c,cnt-1,ls[y]};
    ls[y]=cnt;
}

bool spfa()
{
    for (int i=s;i<=t;i++) dis[i]=inf;
    dis[s]=0;
    q.push(s); 
    v[s]=1;
    while (!q.empty())
    {
        int x=q.front();
        q.pop();
        for (int i=ls[x];i>0;i=g[i].next)
        {
            int y=g[i].y;
            if ((g[i].w) && (dis[y]>dis[x]+g[i].c))
            {
                dis[y]=dis[x]+g[i].c;
                pre[y]=i;
                if (!v[y])
                {
                    v[y]=1;
                    q.push(y);
                }
            }
        }
        v[x]=0;
    }
    return (dis[t]!=inf);
}

void mcf()
{   
    int flow=inf,i=t;
    while (pre[i])
    {
        flow=min(flow,g[pre[i]].w);
        i=g[pre[i]].x;
    }
    i=t;
    while (pre[i])
    {
        g[pre[i]].w-=flow;
        g[g[pre[i]].op].w+=flow;
        ans+=g[pre[i]].c*flow;
        i=g[pre[i]].x;
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&K);
    n++;
    memset(f,inf,sizeof(f));
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&x,&y,&w);
        x++,y++;
        f[x][y]=f[y][x]=min(f[x][y],w);
    }
    for (int k=1;k<=n;k++)
    {
        for (int i=1;i<=n;i++)
        {
            for (int j=1;j<=n;j++)
            {
                if (k<=max(i,j)) f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
            }
        }
    }
    s=0; t=2*n+1;
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        for (int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            if (f[i][j]!=inf) add(i,j+n,1,f[i][j]);
        }
    }
    for (int i=2;i<=n;i++) add(s,i,1,0),add(i+n,t,1,0);
    add(s,1,K,0);
    while (spfa()) mcf();
    printf("%d",ans);
}

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