线性基使用及证明

定义

线性基就是从一堆序列中，构造出一个序列，该序列通过异或组合可以组成原序列的任一一个序列（也就是线性代数所学的极大无关组的异或形式，也可以说是低配极大无关组，所以极大无关组满足的性质其都满足）

性质

性质1

由线性基可以异或出原序列的任一一个数

证明：由原序列求出一个线性基，设一个不在线性基的数为x,x不能被线性基异或得，则x可以插入线性基，则与线性基的定义矛盾，故得证

性质2

线性基中的数异或起来不能产生0

证明：设线性基里由\(a_1...a_n\) 设\(a_{b_1}\bigoplus a_{b_2}\bigoplus a_{b_3}=0\)那么有\(a_{b_1}\bigoplus a_{b_2} =a_{b_3}\)所以只需要\(a_{b_1} a_{b_2}\)就可以表示原序列所有的数，所以线性基容量可以缩小，这与极大无关组的定义矛盾，得证

性质3

线性基的向量个数一定

证明若同一组向量组存在两组线性基\(a_{b_1} a_{b_2} a_{b_3}\)和\(a_{c_1} a_{c_2}\)那么由线性基的定义，第二组线性基可以表示出第一组线性基的所有变量，那么由极大无关组定义，可以把第一组线性基转换为第二组的线性组合，转化之后，组内相互异或仍然是线性基，所以第一组进行线性组合异或后，必然产生\(a_{c_1} a_{c_2},a_{c_2}\)这种形式的向量组合，所以可以产生异或起来为0的情况，导致性质2不满足，矛盾。扩大的情况同理。所以线性基的向量个数一定
（线代丢好久了，可能证明存在纰漏）

插入

void insert(LL c){
    for (int i=51;i>=0;i--){
        if (c&bit[i]){
            if (!xxj[i]){
                xxj[i]=c;
                break;
            }
            c=c^xxj[i];
        }
    }
}

等于说在模拟一个插入的过程，从高位向低位插入，如果这一位之前没有数，直接插入即可，如果有这异或这个数继续往低位找
为什么是正确的呢？因为假设这个位还没有数，那么想要表示这个要插入的数，直接把这个数插入线性基即可，如果这个当前最高位有数那么这一位就可以用这个当前最高位存的数表示出来，把c^xxj[i]看剩下的位能不能表示继续找即可（因为c=c^xxj[i]^xx[j]))在这个插入过程中异或所发生的变化可以还原回来

合并

暴力一个一个怼就另外一个即可

删除

贵校线性代数没学过吧，有没有大佬教一下？

取最大值

从最高位开始异或即可如果当前值异或这个值会变大，直接异或即可，这里运用了贪心的思想，因为二进制高位等于前面所以低位取1再加1，所以取高位为1是比所有低位任一组合都赚的。

LL query_max(){
    LL ret=0;
    for (int i=51;i>=0;i--){
        if ((xxj[i]^ret)>ret) ret=ret^xxj[i];
    }
    return ret;
}

xor d最小值

ret=d 扔进query_max()

最小值

和最大值同理，不过是取最小位有值的那个数罢了

第k小

先用一个可以说是标准化的过程，把xxj[i]这一个数的第i位保留，把其他的第i位置成0，然后就可以很方便得求第k小了，例如第一小是最小的i的那个数，第二小是倒数第二小的i的那个数，第三小就是第一小第二小异或，有没有发现什么规律，那就是把第k小转化为二进制形式，然后把所以位数为1的进行异或即可

void rebuild()
{
    for (int i=60;i>=0;i--)
        for (int j=i-1;j>=0;j--)
            if (d[i]&(1LL<<j))
                d[i]^=d[j];
    for (int i=0;i<=60;i++)
        if (d[i])
            p[cnt++]=d[i];
}
long long kthquery(long long k)
{
    int ret=0;
    if (k>=(1LL<<cnt))
        return -1;
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if (k&(1LL<<i))
            ret^=p[i];
    return ret;
}

Reference

代码来源及参考：
https://www.cnblogs.com/Michael-Li/p/8734708.html
证明启发：
https://blog.csdn.net/a_forever_dream/article/details/83654397
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线性基证明及使用