[BZOJ 3811]玛里苟斯：线性基（详细证明）

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极其复杂的题目……看了一早上题解才看懂
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k=1时，考虑每一位对答案的影响，若至少存在一个数第j位为1，那么异或和中第j位为1的概率为0.5，否则为零。因为取到奇数个第j位为1的数的概率和取到偶数个的概率相等。
k=2时，把异或和转化为2进制，那么每个异或和的平方为$\sum _{i} \sum _{j}b_{i}b_{j}*2^{i+j}$，那么考虑第i位和第j位的积的期望值。如果所有的a[]中，第i位和第j位均相等且非全零，那么参考k=1的情况，期望为1/2；否则，i为1的概率为1/2，j位1的概率为1/2，i*j为1的概率为1/4。
k>=3时，因为答案不超过2^63，因此a[i]不会超过2^21，线性基不会超过21个，于是求出线性基后暴力枚举。
需要注意的是，答案不会溢出，但中间过程可能会，因此需要将y变成$\left \lfloor \frac{y}{2^{m}} \right \rfloor*2^{m}+y\; mod \; 2^{m}$的形式。
这里需要证明一下$\left \lfloor \frac{x^{k}}{2^{m}} \right \rfloor*x+\left \lfloor \frac{(x^{k}\; mod\; 2^{m})*x}{2^{m}} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{x^{k+1}}{2^{m}} \right \rfloor$
设$x^{k}=a*2^{m}+b\; (b< 2^{m})$
于是等式左边$=ax+\left \lfloor \frac{bx}{2^{m}} \right \rfloor$
等式右边$=\left \lfloor \frac{x^{k}*x}{2^{m}} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{ax*2^{m}+bx}{2^{m}} \right \rfloor=ax+\left \lfloor \frac{bx}{2^{m}} \right \rfloor$
等式左右相等，即证。

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:3811
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ull unsigned ll
#define inf 999999999
using namespace std;
const int M=1e5+5;
int n,q;
ull a[M],b[65];
void solve1(){
    ull res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) res|=a[i];
    printf("%llu",res>>1);
    if(res&1) printf(".5");
    printf("\n");
}
void solve2(){
    ull ans=0,res=0;
    for(int i=32;i>=0;i--){
        for(int j=32;j>=0;j--){
            bool flag=0;
            for(int k=1;k<=n;k++)
                if(a[k]>>i&1){
                    flag=1;
                    break;
                }
            if(!flag) continue;
            flag=0;
            for(int k=1;k<=n;k++)
                if(a[k]>>j&1){
                    flag=1;
                    break;
                }
            if(!flag) continue;
            flag=0;
            for(int k=1;k<=n;k++)
                if((a[k]>>i&1)!=(a[k]>>j&1)){
                    flag=1;
                    break;
                }
            if(i+j-1-flag<0) res++;//只有 (i,j)=(0,0)或(0,1)时有可能出现这种情况，
                                   //(i,j)=(0,0)时flag一定为0，因此对答案的影响是(1/2)*(2^0)=1/2；
                                   //(i,j)=(0,1)且flag=1时，对答案的影响是(1/4)*(2^1)=1/2。
                                   //因此出现这种情况时答案加1/2 
            else ans+=1LL<<(i+j-1-flag);//flag=0，则为1/2，flag=1，则为1/4 
        }
    }
    ans+=res>>1;
    printf("%llu",ans);
    if(res&1) printf(".5");
    printf("\n");
}
void solve3(){
    vector<ull> g;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=22;j>=0;j--){
            if(a[i]>>j&1){
                if(b[j]) a[i]^=b[j];
                else{
                    b[j]=a[i];
                    cnt++;
                    g.push_back(a[i]);
                    break;
                }
            }
        }
    }
    ull ans=0,res=0;
    for(int i=0;i<(1<<cnt);i++){
        ull val=0;
        for(int j=0;j<cnt;j++) if(i>>j&1) val^=g[j];
        ull a=0,b=1;
        for(int j=0;j<q;j++){
            a*=val,b*=val;
            a+=b>>cnt,b&=(1<<cnt)-1;//对b取模 
        }
        ans+=a,res+=b;
        ans+=res>>cnt,res&=(1<<cnt)-1;
    }
    printf("%llu",ans);
    if(res) printf(".5");
    printf("\n");
}
int main(){
    freopen("data.in","r",stdin);//
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%llu",&a[i]);
    if(q==1) solve1();
    else if(q==2) solve2();
    else solve3();
    return 0;
}