OI中的线性基

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水平有限，此处只记录一些OI中线性基的思路，基本与线性代数无关了。

定义

线性基一般用于求解异或问题。
对n个数求其线性基，得到最多 二进制下位数m 个数。其满足三个性质：
1. 线性基能相互异或得到原集合的所有相互异或得到的值。
2. 线性基是满足性质1的最小的集合
3. 线性基没有异或和为0的子集。（因此要特判0的情况）

注意一点，线性基内不一定是原数。 但我们称被成功插入线性基的数为在线性基中。
线性基有多个（据说有维数个，也就是位数个）。

构造方法

增量法，考虑插入一个数。
由于集合内元素可以互相异或，而选出一个子集异或的结果集是不会变的。
所以有下面的构造方法：
从高到低看插入数X的第i位，若第i位不为0，则看b[i]是否为0（可以插入），若否则令x^=b[i]，继续过程。
若是，则b[i]=x，并先用低位b[i]消去他的低位1，再用它消去高位的第i位1。（这个过程叫回消，可以没有，但这样之后贪心方便）
返回0代表出现异或和为0的子集了。

回消所带来的方便在于，若b[i]不为空，则只有b[i]第i位是1。
插入一次的时间是$O(\log n)$

应用

@hzj

还有一个就是，图有边权，求图中某种a-b走法的边权异或时，有这样的套路：
1.找出所有环，插入线性基。
2.任意找一条路径，和(线性基内任意异或和)再进行异或就是图中的某种走法。