参考：https://blog.csdn.net/kyang624823/article/details/78633897
卷积层 池化层反向传播：
1，CNN的前向传播
a）对于卷积层，卷积核与输入矩阵对应位置求积再求和，作为输出矩阵对应位置的值。如果输入矩阵inputX为M*N大小，卷积核为a*b大小，那么输出Y为（M-a+1）*（N-b+1）大小。 
b）对于池化层，按照池化标准把输入张量缩小。
c）对于全连接层，按照普通网络的前向传播计算。
2，CNN反向传播的不同之处：
首先要注意的是，一般神经网络中每一层输入输出a,z都只是一个向量，而CNN中的a,z是一个三维张量，即由若干个输入的子矩阵组成。其次：
- 池化层没有激活函数。这个问题倒比较好解决，我们可以令池化层的激活函数为σ(z)=z，即激活后就是自己本身。这样池化层激活函数的导数为1。
- 池化层在前向传播的时候，对输入进行了压缩，那么我们向前反向推导上一层的误差时，需要做upsample处理。
- 卷积层是通过张量卷积，或者说若干个矩阵卷积求和而得到当前层的输出，这和一般的网络直接进行矩阵乘法得到当前层的输出不同。这样在卷积层反向传播的时候，上一层误差的递推计算方法肯定有所不同。
- 对于卷积层，由于W使用的运算是卷积，那么由该层误差推导出该层的所有卷积核的W,b的方式也不同。
由于卷积层可以有多个卷积核，各个卷积核的处理方法是完全相同且独立的，为了简化算法公式的复杂度，我们下面提到卷积核都是卷积层中若干卷积核中的一个。接下来看具体的CNN反向传播步骤。
3，已知池化层的误差，反向推导上一隐藏层的误差
在前向传播时，池化层我们会用MAX或者Average对输入进行池化，池化的区域大小已知。现在我们反过来，要从缩小后区域的误差，还原前一层较大区域的误差。这个过程叫做upsample。假设我们的池化区域大小是2x2。第l层误差的第k个子矩阵为:
如果池化区域表示为a*a大小，那么我们把上述矩阵上下左右各扩展a-1行和列进行还原： 
Pooling层反向传播需要保证传递的loss（或者梯度）总和不变。根据这条原则，mean pooling和max pooling的反向传播也是不同的。
MAX POOLING：
如果是MAX，假设我们之前在前向传播时记录的最大值位置分别是左上，右下，右上，左下，则转换后的矩阵为： 
举个例子：
max pooling也要满足梯度之和不变的原则，max pooling的前向传播是把patch中最大的值传递给后一层，而其他像素的值直接被舍弃掉。那么反向传播也就是把梯度直接传给前一层某一个像素，而其他像素不接受梯度，也就是为0。所以max pooling操作和mean pooling操作不同点在于需要记录下池化操作时到底哪个像素的值是最大，也就是max id，这个变量就是记录最大值所在位置的，因为在反向传播中要用到，那么假设前向传播和反向传播的过程就如下图所示 ：
Average POOLING
如果是Average，则进行平均，转换后的矩阵为： 
举个例子：
mean pooling的前向传播就是把一个patch中的值求取平均来做pooling，那么反向传播的过程也就是把某个元素的梯度等分为n份分配给前一层，这样就保证池化前后的梯度（残差）之和保持不变
上边这个矩阵就是误差矩阵经过upsample之后的矩阵，那么，由后一层误差推导出前一层误差的公式为： 
上式和普通网络的反向推导误差很类似： 
可以看到，只有第一项不同。
4，已知卷积层的误差，反向推导上一隐藏层的误差、
推导链接：https://blog.csdn.net/legend_hua/article/details/81590979
公式如下： 
我们再看一次普通网络的反向推导误差的公式：
可以看到区别在于，下一层的权重w的转置操作，变成了旋转180度的操作，也就是上下翻转一次，左右再翻转一次，这其实就是“卷积”一词的意义（我们可简单理解为数学上的trick），可参考下图，Q是下一层的误差，周围补0方便计算，W是180度翻转后的卷积核，P是W和Q做卷积的结果：
5，已知卷积层的误差，推导该层的W,b的梯度
经过以上各步骤，我们已经算出每一层的误差了，那么：
a）对于全连接层，可以按照普通网络的反向传播算法求该层W,b的梯度。
b）对于池化层，它并没有W,b,也不用求W,b的梯度。
c）只有卷积层的W,b需要求出，先看w： 
再对比一下普通网络的求w梯度的公式，发现区别在于，对前一层的输出做翻转180度的操作： 
而对于b,则稍微有些特殊，因为在CNN中，误差δ是三维张量，而b只是一个向量，不能像普通网络中那样直接和误差δ相等。通常的做法是将误差δ的各个子矩阵的项分别求和，得到一个误差向量，即为b的梯度：
