暑假N天乐【比赛篇】 —— 2019牛客暑期多校训练营（第一场）

期待已久暑假的重头戏终于算是打响了第一枪吧...第一把不出所料的被吊打了...被满场的数学题和自己的菜鸡英语疯狂支配。补题的话，估计只能量力而行了吧 —— 一个题解都推不出来、标程都看不懂的鶸。

A B C D E F G H I J

目前来说再补题可能只会做 C、H...也可能就这样了。

比赛地址： https://ac.nowcoder.com/acm/contest/881#question

【A】 Equivalent Prefixes

定义两个数组“相等”的概念：\([1, m]的范围内任取子区间[l, r]都满足区间最小值所在的位置（下标）相同\)。那么给定两个数组，问m的最大取值是多少。

读题把队友全演了...前两发wa都是题读错了，然后后面怎么都走不出原来的想法。后面队友完全推倒重写单调队列可算是过了。然后题解说的笛卡尔树也是一头雾水，于是...单调队列重写了一遍。以下为赛后补题代码：

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;

const int maxn = 1e5+5;

int a[maxn], b[maxn];

int main() {
    int n;
    while(~scanf("%d", &n)) {
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a[i]);
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &b[i]);
        }
        int flag = 1;
        stack<int> sa, sb;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            while(!sa.empty() && a[i] < a[sa.top()]) {
                sa.pop();
            }
            sa.push(i);
            while(!sb.empty() && b[i] < b[sb.top()]) {
                sb.pop();
            }
            sb.push(i); 
            if(sa.size() != sb.size()) {
                printf("%d\n", i-1);
                flag = 0;
                break;
            }
        }
        if(flag == 1) {
            printf("%d\n", n);
        }
    }
    return 0;
}

【B】 Integration

众所周知：\(\int^{\infty}_{0} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2}\) 。然后给你 n 个数，求：
\[\frac{1}{\pi} \int^{\infty}_{0} \frac{1}{\prod^{n}_{i=1}(a_i^2+x^2)} dx\]

然后得到的大概会是个分数，需要把 \(\frac{p}{q}\) 的形式化成 \(p*q^{-1} mod (1e^9+7)\)。

高数60+菜鸡飘过，推不出来也不怪我对吧...

令：
\[c_i = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(a_j^2 - a_i^2)}\]

则：
\[\frac{1}{\prod(a_i^2 + x^2)} = \sum \frac{c_i}{a_i^2+x^2}\]

而：
\[\int^{\infty}_{0}\frac{c_i}{a_i^2+x^2}dx = \frac{c_i}{2a_i}\pi\]

题解万岁

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
 
const int maxn = 1e3+5;
 
ll _c[maxn];
ll a[maxn];
 
ll q_pow(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) {
            ans = ans * a % mod;
        }
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
 
int main() {
    int n;
    while(~scanf("%d", &n)) {
        ll ans = 0;
        for(int i = 0; i <= n; i++) {
            _c[i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%lld", &a[i]);
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                if(i == j) {
                    continue;
                }
                _c[i] = _c[i] * (a[j]*a[j]%mod - a[i]*a[i]%mod + mod) % mod;
            }
            _c[i] = _c[i] * 2ll * a[i] % mod;
            ans = (ans + q_pow(_c[i], mod-2)) % mod;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

【E】 ABBA

有一个长度为 \(2(n+m)\)的字符串，它的子序列可以拆分成：“n 个AB、m 个BA”。问总共有多少种排序方式。

emmm...可能还是 dp 刷的少了，想到是 dp 但是没想到是按 A、B 的个数进行转移。

\(dp[i][j] 表示前缀有 i 个 A、 j 个 B\) 然后跑 \(n^2\) 每次都要按 A、B 插入进行转移，边界需要处理比较麻烦。

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
 
const int maxn = 2e3+5;
 
int n, m;
int dp[maxn][maxn];     // dp[i][j] 表示前缀有 i 个 A、 j 个 B
 
int main() {
    while(~scanf("%d%d", &n, &m)) {
        int l = n+m;
        for(int i = 0; i <= l+1; i++) {
            for(int j = 0; j <= l+1; j++) {
                dp[i][j] = 0;
            }
        }
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 0; i <= l; i++) {
            for(int j = 0; j <= l; j++) {
                if(i <= n-1 || i-n <= min(j, m)-1) {
                    // 因为 i 从 0 开始，所以最大只能到 n-1；后边也同理
                    dp[i+1][j] = (dp[i+1][j] + dp[i][j]) % mod;
                }
                if(j <= m-1 || j-m <= min(i, n)-1) {
                    dp[i][j+1] = (dp[i][j+1] + dp[i][j]) % mod;
                }
            }
        }
        printf("%d\n", dp[l][l]);
    }
    return 0;
}

【F】 Random Point in Triangle

给定三角形的三点，现在有一个点 P 会随机落在三角形内，问 期望值 \(E = max\{S_{PAB},S_{PBC},S_{PCA}\}\)，输出的答案需要乘以 36。

这个乘 36 就给的很精髓了...因为数据太大，所以不能直接用海伦公式（反正我WA了），所以就用 longlong 和割补法去消除误差。然后通过计算（随机数统计然后再猜一猜也行）发现答案应该是三角形面积的 \(\frac{11}{2}\)。别问为什么，问就是队友做的。

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
 
const int maxn = 5;
 
struct node {
    ll x, y;
    bool operator < (const node &a) const {
        return x < a.x;
    }
}p[maxn];
 
int main() {
    ll x1, x2, x3, y1, y2, y3;
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld", &p[1].x, &p[1].y, &p[2].x, &p[2].y, &p[3].x, &p[3].y)) {
        for(int i = 1; i <= 3; i++) {
            p[i].x += 100000000;
            p[i].y += 100000000;
        }
        sort(p+1, p+1+3);
        ll m, n;
        ll s1, s2, s3;
        m = p[1].y + p[2].y;
        n = p[2].x - p[1].x;
        s1 = m * n;
        m = p[3].y + p[2].y;
        n = p[3].x - p[2].x;
        s2 = m * n;
        m = p[3].y + p[1].y;
        n = p[3].x - p[1].x;
        s3 = m * n;    
 
        ll ans = abs(s1 + s2 - s3);
        printf("%lld\n", ans*11ll);  
    }
    return 0;
}

【J】 Fraction Comparision

给定两个分数，让你判断哪个更大。

显然直接除法的话...精度不够对吧，然后就想着用\(\_\_int128\)了。然后队伍里没一个会读入的，然后就先读入 longlong ，计算的时候在强转就行了。

#include <map>
#include <set>
#include <list>
#include <cmath>
#include <ctime>
#include <deque>
#include <stack>
#include <queue>
#include <bitset>
#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <fstream>
#include <iomanip>
#include <numeric>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const double PI = acos(-1.0);
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
 
 
 
int main() {
    ll x, a, y, b;
    while(~scanf("%lld%lld%lld%lld", &x, &a, &y, &b)) {
        __int128 ans1 = (__int128)x*b, ans2 = (__int128)y*a;
        if(ans1 > ans2) {
            printf(">\n");
        }
        else if(ans1 == ans2){
            printf("=\n");
        }
        else {
            printf("<\n");
        }
    }
    return 0;
}

相信我，我一定会补题的【咕咕咕】。