机器人-数理基础(二)

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/qq_23320955/article/details/86485989

机器人学基础（第2版）

2.2 坐标变换

平移坐标变换： 设坐标系{B}与坐标系{A}具有相同的姿态，但两者原点不重合。用位置矢量 $^AP_{B_o}$ 描述{B}相对于{A}的位置，称 $^AP_{B_o}$为{B}相对于{A}的平移矢量。如果点P在坐标系{B}中的位置为 $^BP$，那么它相对于坐标系{A}的位置矢量 $^AP$可由矢量相加得出，即
$^AP = {^BP}+^AP_{B_o} \tag{2.1}$

旋转坐标变换： 设坐标系{B}与坐标系{A}具有共同的原点，但两者的姿态不同。用旋转矩阵 $^A_BR$ 描述{B}相对于{A}的姿态。同一点P在两个坐标系{A}和{B}的描述 $^AP$和 $^BP$具有如下变换关系：
$^AP={^A_BR}{^BP} \tag{2.2}$
正交矩阵 ${^A_BR}$性质： ${^A_BR}={^A_BR^{-1}}={^A_BR}^{T}$

一般情形： 设坐标系{B}与坐标系{A}的原点既不重合，姿态也不相同。对于任一点P在坐标系{A}和{B}中的描述 ${^AP}$ 和 ${^BP}$具有以下变换关系：
$^AP = {^A_BR}{^BP}+^AP_{B_o} \tag{2.3}$

---

2.3 齐次坐标变换

式(2.3)对于点 $^BP$而言是非齐次的，但是可以将其表示成等价的其次变换形式：
$\begin{bmatrix} ^AP \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ^A_BR & \vdots & ^AP_{B_o} \\ \ldots \ldots & \cdot & \ldots \ldots . \\ 0 & \vdots & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} ^AP \\ \ldots \\1 \end{bmatrix}=^A_BT\begin{bmatrix} ^AP \\ \ldots \\1 \end{bmatrix} \tag{2.4}$其中，4X1的列向量表示三维空间的点，称为点的齐次坐标，仍然记为 $^AP$和 $^BP$。可把上式写成矩阵形式： $^AP={^A_BT}{^BP} \tag{2.5}$
坐标原点的矢量，即零矢量表示为 $\left[ 0,0,0,1\right] ^{T}$，但没有定义。用 $\left[ 1,0,0,0\right] ^{T}$， $\left[ 0,1,0,0\right] ^{T}$和 $\left[ 0,0,1,0\right] ^{T}$分别表示 $x，y，z$轴的方向。