快速幂和取余运算

将指数转换为2进制，如2的11次方，11的二进制为1011，即8+2+1，所以通过下图base的自增和具体位的0或者1来给ans加base。这样时间复杂度为O(n)=log(2)(n)，效率很高。

实现代码如下:

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int a, b;
    scanf("%d%d",&a,&b);
    int base=a,ans=1;//赋初值 
    while(b>0) 
    {
        if(b&1)//按位与0001，只有最右边同为1才执行 
        {
            ans*=base;
        }
        base*=base;//base自增 
        b>>=1;//b右移，这样可以一直判断最右边那一位 
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

模运算有以下性质

\((A+B) mod b=(A mod b+B mod b) mod b\)

\((A×B) mod b ==((A mod b)×(B mod b)) mod b\)

所以

\(a^b\) \(mod\) \(k\)代码如下

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    long long a, b,k;
    scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&k);
    if(a==k)//特判，如1 0 1 
    {
        printf("%lld^%lld mod %lld=0",a,b,k);
        return 0;
    }
    long long t=b;//将b的值保存下来用来输出 
    long long base=a,ans=1;//赋初值 
    while(t>0) 
    {
        if(t&1)//按位与0001，只有最右边同为1才执行 
        {
            ans*=base;
            ans%=k;
        }
        cout<<ans<<endl;
        base*=base;//base自增 
        base%=k;
        t>>=1;//b右移，这样可以一直判断最右边那一位 
    }
    printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",a,b,k,ans);
    return 0;
}

2.题目来源洛谷P1010 幂次方
看到这道题的递归题解心中万分震惊，原来可以这么简单，递归nb！话不多说，上代码。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

string fun(int t,int i=0,string s="");

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    cout<<fun(n)<<endl;
    return 0;
}

string fun(int t,int i,string s)
{
    if(t==0)//如果次数是0就返回0 
    {
        return "0";
    }
    while(t)//快速幂，下面会再贴一个更简洁的快速幂代码 
    {
        if(t&1) 
        {
            s=(i==1?"2":"2("+fun(i)+")")+(s==""?"":"+")+s;//第一个括号内是递归主体，第二个括号判断是否是最后一位来决定是否输出括号，最后一个用来从高位到低位连接字符串
        }
        t>>=1;
        i++;//次数+1 
    };
    return s;
}

↓更简洁的快速幂代码如下

do
{
    if(t&1)
    {
        s=(i==1?"2":"2("+fun(i)+")")+(s==""?"":"+")+s;
    }
}while(i++,t>>=1);

快速幂和取余运算

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