查找 —— 平衡二叉树

一、定义

二叉排序树的时间复杂度为 O(n)，平衡二叉排序树的时间复杂度为 O(logn)

平衡二叉树又称 AVL 树，是一种特殊的二叉排序树，拥有更高的查询效率。平衡二叉树或是一棵空树，或满足下列性质的一棵非空的二叉树T：

1. T的左子树和右子树的深度之差的绝对值不超过1；
2. T的左子树和右子树均为平衡二叉树。

二叉树T的结点平衡因子BF（Balance Factor）为左子树的深度减去右子树的深度，树种

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二、算法思想

在建立平衡二叉树的过程中，每插入一个新的关键字都要进行检查，看是否新关键字的插入会使得原平衡二叉树失去平衡，即树中出现平衡因子绝对值大于1的结点。如果失去平衡则需要进行平衡调整。

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三、平衡调整

• 当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，无需调整原有其它所有的不平衡子树，整个二叉排序树就会成为一棵平衡二叉树。

• 最小不平衡子树： 以距离插入结点最近，且以平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。

（1）LL型平衡旋转法

插入点是最小不平衡子树的左子树之左子树。

由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。

（2）RR型平衡旋转法

插入点是最小不平衡子树的右子树之右子树。

由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。

（3）LR型平衡旋转法

插入点是最小不平衡子树的左子树之右子树。

由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。

1. 先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置
2. 然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型，再按LL型处理。

其中，调整的中间状态如下（对应的步骤一：将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置）

（4）RL型平衡旋转法

插入点是最小不平衡子树的右子树之左子树。

由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作（先顺时针，后逆时针）。

1. 先将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置
2. 然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型，再按RR型处理。

其中，调整的中间状态如下（对应的步骤一：将A结点的右孩子C的左子树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置）