Codeforces 1175 D Array Splitting 题解（DP+贪心）

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题目：CF1175D.
题目大意：给定一个长度为 $n$的数组 $a$，要求划分成 $k$块（不能有块为空）.设 $a_i$所在块的编号为 $f(i)$，则求出最大的 $\sum_{i=1}^{n}a_if(i)$.
$1\leq k\leq n\leq 3*10^5,|a_i|\leq 10^6$.

看到这道题的时候感觉像是个DP，然后一看数据范围 $1\leq k\leq n\leq 3*10^5$，然而我能想到的状态都是 $O(nk)$的…

于是后面开始死命想贪心，想到大概只剩半个小时的时候，实在感觉贪心不行，只好硬着头皮DP了…

先是想了个顺着推的DP，设 $f[i][j]$表示 $a_1$到 $a_i$划分成 $j$组的最大答案，容易想到DP方程：
$f[i][j]=\max \{ f[i-1][j],f[i-1][j-1]\}+a[i]*j$

发现这个方程与 $i$和 $j$都有关，一下子就觉得没办法优化了…

所以再想了个倒着推的DP，设 $f[i][j]$表示 $a_i$到 $a_n$划分成 $j$组的最大答案，容易列出方程：
$f[i][j]=\max \left\{ f[i+1][j]+a[i],f[i+1][j-1]+\sum_{k=i}^{n}a[k] \right\}\\ =\max \left\{ f[i+1][j],f[i+1][j-1]+\sum_{k=i+1}^{n}a[k] \right\}+a[i]$

然后我们设 $A$数组为 $a$的后缀和，即 $A[i]=\sum_{j=i}^{n}a[j]$，就可以把方程变为：
$f[i][j]=\max\{ f[i+1][j],f[i+1][j-1]+A[i+1] \}+a[i]$

然后我们会发现，这个东西相当于是在 $A[1]$到 $A[n]$中选 $k$个数并且强制选 $A[1]$的情况下，使得和最大.

很容易想到这个东西就是贪心给 $A[2]$到 $A[n]$排下序找到前 $k-1$大求个和再加个 $A[1]$就是答案.

时间复杂度 $O(n\log n)$.

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;

const int N=300000;

int n,k;
LL a[N+9],A[N+9],ans;

bool cmp(const LL &a,const LL &b){return a>b;} 

Abigail into(){
  scanf("%d%d",&n,&k);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%I64d",&a[i]);
}

Abigail work(){
  for (int i=n;i>=1;--i) A[i]=a[i]+A[i+1];
  sort(A+2,A+n+1,cmp);
  for (int i=1;i<=k;++i) ans+=A[i];
}

Abigail outo(){
  printf("%I64d\n",ans);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}