【LeetCode】96.不同的二叉搜索树

【LeetCode】96.不同的二叉搜索树

题目描述

（简单说下）
给出n，求1-n的所有数字可以组成的二叉搜索树的种类

解题思路

才看到这个题就想起了上离散数学时候的情景，直到期末考那一刻才明白：
卧槽，同构树不就是有机化学中的同分异构体么！
这题有两种解法：
一：接触过ACM或者数论的应该对卡特兰数有了解。此题刚好是一个卡特兰数，在此不符合本题宗旨，不作赘述，又兴趣自行百度；
二：下面说正常解法，其实本质上也是卡特兰数的推导：
可以先画同构树推导
n=1，res（答案）=1;n=2,res=1；n=3，res=5；n=4，res=14…
再往下数字太大，画图就很鸡肋了。我们来试这用动态规划来总结一下：
首先讨论一下以i为根的二叉搜索树的个数，
从第二个数开始，设i的解为 $dp(i)$，则可得：
$dp(i)=dp(1)+dp(2)+...+dp(i-1)$
这个根据BST的性质很好理解。
而二叉树中，第i个节点的左右儿子节点分别为 $1,2,...,i-1$和 $i+1,i+2,...,n$
从而结合第一个式子
$dp(i)=dp(i-1)dp(n-i)$
综上，此题解为：
$dp(i,n)=\sum{dp(i)dp(n-i)}$
（我承认这个推导似乎有一点无厘头？）

代码

dp的代码总是那么的大道至简却又暗藏玄机

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int []dp=new int[n+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
            }        
        }
        return dp[n];
    }
}

总结

这题属于一个正儿八经的“树形dp（当然我说的不是ACM中那种）”
即考察数学推导能力又考察数据结构基础