Rod-cutting(动态规划)

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Introduction

先来看看问题，加入我们有一个价格表

length(i)     1   2   3   4   5    6    7    8    9    10

---

price( $p_i$) 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30

那么，我们现在有一根刚才长度为 $n$,你是一个加工商，需要把长度为 $n$
的刚才切割为 $(1,2,...,10)$长度卖出去。问怎么才能卖出最高的价格。

Recursive

alg

我们先来看看一个递归解法。也就是把问题分治，
当一个刚才被切割为2部分的时候。我们可以分别计算这两部分的最大收益，然后得出这种分法的最大收益。递归而来，最终可以得到最终的收益。

CUT-ROD(p, n)

    if n == 0
       return 0
    q = - infinity
    for i = 1 to n
       q = max(q, p[i]+CUT-ROD(p, n-i))
    return q
  

complexity

因为是一个递归算法我们用调用的次数来衡量算法的复杂度。那么首先，我们先来看看

• $T(0) = 1$

• $T(1) = 2$

• $T(2) = 4$

• $T(n) = 2^n$

这个可以用归纳法求出来，也就是说
$T(n-1)=2^{n-1},T(0)=1,T(1)=2\rightarrow T(n) = 2^n$
$2^n=1+2^{n-1}+2^{n-2}+...+2^3+2^2+2^1+1$

所以，调用是指数级别的的增长。比如当 $n=40$时，程序就需要运行数分钟之久。所以，递归解法不是一个可取的算法。

dynamic programming

我们仔细来分析一下，问题。对于上面提到的递归算法，实际上重复计算了很多东西。比如，当 $n=5$的时候。

1. 第一次循环中
   $(1, CUT-ROD(p, 4)),(2, CUT-ROD(p, 3)),(3, CUT-ROD(p, 2)),...,(5, CUT-ROD(p, 0))$

2. 把 $(1, CUT-ROD(p, 4))$展开
   $(1, CUT-ROD(p, 3)),(2, CUT-ROD(p, 2)),...,(4, CUT-ROD(p, 0))$

可以看到，第一步中第二项和第二步中的第一项的
CUT-ROD是一模一样的。但是因为是递归。实际上我们对这个函数计算了两次。而动态规划的核心就是如何把已经计算的东西缓存起来，让计算更高效。

top-down

自顶向下的方法。

CUT-ROD(p, n)

    let r[0..n] be a new array
    for i = 0 to n
       r[i] = - Infinity
    return CUT-ROD-AUX(p, n, r)
  

这里引入了一个辅助函数

CUT-ROD-AUX（p, n, r)

    if r[n] > = 0
       return r[n]
    if n == 0
       q = 0
    else q = - Infinity
       for i = 1 to n
          q = max(q, p[i] + CUT-ROD-AUX(p, n-i, r))
    r[n] = q
    return q
  

bottom-up

更为简单 CUT-ROD（p, n)

    let r[0..n] be a new array
    r[0] = 0
    for j = 1 to n
       q = - Infinity
       for i = 1 to j
          q = max(q, p[i]+r[j-1])
       r[j] = q
     return r[n]
  

complexity

由于我们使用了两层循环所以复杂度为 $\Theta(n^2)$

Reconstruct a solution

EX-CUT-ROD（p, n)

    let r[0..n] and s[0..n] be new arrays
    r[0] = 0
    for j = 1 to n
       q = - Infinity
       for i = 1 to j
          if q<p[i]+r[j-i]
             q = p[i]+r[j-i]
             s[j] = i
       r[j] = q
    return r and s
  

PRINT-CUT-ROD(p,n)

    (r,s) = EX-CUT-ROD(p, n)
    while n > 0
       print s[n]
       n = n - s[n]

The End

至此，动态规划解决钢管切割问题，就完成了。