有限长序列的分类
基于共轭对称的分类
模运算给出了对称的一种定义
\[ x[n]=x_{cs}[n]+x_{ca}[n] \]
圆周共轭对称
\[ x_{cs}[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x^{*}[<-n>_N]), \, 0\leq n \leq N-1 \]
圆周共轭反对称
\[ x_{ca}[n]=\frac{1}{2}(x[n]-x^{*}[<-n>_N]), \, 0\leq n \leq N-1 \]
例:考虑长度为\(4\)的有限长序列,\(0\leq n \leq 3\):
\[ u[n]=\{1+j4,-2+j3,4-j2,-5-j6\} \]
则
\[ u^{*}[n]=\{1-j4,-2-j3,4+j2,-5+j6\} \]
\[ u^{*}[<-n>_4]=\{1-j4,-5+j6,4+j2,-2-j3\} \]
所以
\[ u_{cs}[n]=\{1,-3.5+j4.5,4,-3.5-j4.5\} \]
\[ u_{ca}[n]=\{j4,1.5-j1.5,-j2,-1.5-j1.5\} \]
基于几何对称的分类
对称序列:
\[ x[n]=x[N-1-n] \]
反对称序列
\[ x[n]=-x[N-1-n] \]
由于\(N\)可以为偶数，也可以为奇数，所以存在四种类型的几何对称的定义。
奇长度的对称序列
考虑长度为\(5\)的序列
\[ x[n]=\{\mathop{1}\limits_{\uparrow}, 2, 3, 2, 1\} \]
则其傅里叶变换为
\[ \begin{aligned} X(e^{jw})&=1+2e^{-jw}+3e^{-j2w}+2e^{-j3w}+e^{-j4w} \\ &=e^{-j2w}(e^{j2w}+2e^{jw}+3+2e^{-jw}+e^{-j2w}) \\ &=e^{-j2w}(3+4cosw+2cow2w) \\ &=e^{-j\frac{N-1}{2}}(x[\frac{N-1}{2}]+2\sum_{n=1}^{\frac{N-1}{2}}x[\frac{N-1}{2}-n]cos(nw)) \end{aligned} \]
偶长度的对称序列
考虑长度为\(4\)的序列
\[ x[n]=\{\mathop{1}\limits_{\uparrow},2,2,1\} \]
其傅里叶变换为
\[ \begin{aligned} X(e^{jw})&=1+2e^{-jw}+2e^{-j2w}+e^{-j3w} \\ &=e^{-j\frac{3w}{2}}(e^{j\frac{3w}{2}}+2e^{j\frac{w}{2}}+2e^{-j\frac{w}{2}}+e^{-j\frac{3w}{2}}) \\ &=je^{-j\frac{3w}{2}}(4cos(w/2)+2cos(3w/2)) \\ &=je^{-j\frac{(N-1)w}{2}}(2\sum_{n=1}^{\frac{N}{2}}x[\frac{N}{2}-n]cos((n-1/2)w)) \end{aligned} \]
奇长度的反对称序列
同理可推导出
\[ X(e^{jw})=je^{-j\frac{N-1}{2}w}(2\sum_{1}^{\frac{N-1}{2}}x[\frac{N-1}{2}-n]sin(nw)) \]
偶长度的反对称序列
同理可推导出
\[ X(e^{jw})=je^{-j\frac{N-1}{2}w}(2\sum_{1}^{\frac{N}{2}}x[\frac{N}{2}-n]sin((n-1/2)w)) \]