有限差分法

基本概念

总的思想就是把微分方程变成差分方程（离散化），用精度换取计算的可进行性。

几种差分方法及其误差：
(来源：https://wenku.baidu.com/view/aa580fd619e8b8f67d1cb919.html）

MATLAB实现

以一个对时间进行微分的微分方程组为例（数模国赛2014A）：

其中

\dot{m} = \frac{F}{ν}

$\dot{m}=\frac{F}{\nu}$
各参数取值（都使用国际单位制，故单位不再给出）：

G = 6.672 \times 10^{- 11}; M = 7.3477 \times 10^{22}; F = 7500; ν = 2940; m_{0} = 2.4 \times 10^{3};

$G=6.672\times 10^{-11};\\ M=7.3477\times 10^{22};\\ F=7500;\\ \nu =2940;\\ m_0=2.4\times 10^3;$
已知条件：

v_{x 0} = 1692.46; v_{y 0} = 0; r_{0} = 1749.37 \times 10^{3};

$v_{x0}=1692.46;\\ v_{y0}=0;\\ r_0=1749.37\times 10^3;$
使用前向差分可把方程化为：

{\begin{matrix} v_{x n + 1} = (a_{n} c o s β_{n} - \frac{v_{x n} v_{y n}}{r_{n}}) h + v_{x n} \\ v_{y n + 1} = (- \frac{G M}{r_{n}^{2}} + \frac{v_{x n}^{2}}{r_{n}} + a_{n} s i n β_{n}) h + v_{y n} \\ r_{n + 1} = h y_{y n} + r_{n} \\ a_{n} = \frac{F}{m_{0} - \frac{F}{ν} n h} \\ t a n β_{n} = \frac{v_{y n}}{v_{x n}} \end{matrix}

$\left \{\begin{matrix} v_{xn+1}=(a_n cos\beta_n-\dfrac{v_{xn}v_{yn}}{r_n})h+v_{xn}\\ v_{yn+1}=(-\dfrac{GM}{r_n^2}+\dfrac{v_{xn}^2}{r_n}+a_nsin\beta_n)h+v_{yn}\\ r_{n+1}=hy_{yn}+r_n\\ a_n=\dfrac{F}{m_0-\frac{F}{\nu}nh}\\ tan\beta_n=\dfrac{v_{yn}}{v_{xn}} \end{matrix}\right.$
用以下matlab程序计算

%% main.m

clear;
h=0.1;      %步长
N=100000;   %最大迭代次数
%初始化
vy=zeros(1,N);
vx=zeros(1,N);
r=zeros(1,N);
%初始值
vy(1)=0;
vx(1)=1692.46;
r(1)=1749.37*10^3;
%开始递推
for n=1:N-1
    [vy(n+1),vx(n+1),r(n+1)]=DiTuiFun(vy(n),vx(n),r(n),h,n);
    if((r(n+1)-1737013)<=12000 || vx(n+1)<=0)
        end_num=n+1;
        break;
    end
end
r_reslut=r(1:end_num);
vx_reslut=vx(1:end_num);
vy_reslut=vy(1:end_num);
figure(1);
plot(1:1:end_num,r_reslut);
figure(2);
plot(1:1:end_num,vx_reslut);
figure(3);
plot(1:1:end_num,vy_reslut);

%% DiTuiFun.m
function [vynn,vxnn,rnn]=DiTuiFun(vyn,vxn,rn,h,n)
%参数
G=6.672*10^-11;
M=7.3477*10^22;
F=7500;
miu=2940;
m0=2.4*10^3;
%计算
v=sqrt(vyn^2+vxn^2);
sin_beta=vyn/v;
cos_beta=-vxn/v;
an=F/(m0-F*n*h/miu);
rnn=h*vyn+rn;
vxnn=(an*cos_beta-vxn*vyn/rn)*h+vxn;
vynn=(-G*M/rn^2+vxn^2/rn+an*sin_beta)*h+vyn;
end

基本概念

MATLAB实现

猜你喜欢