【BZOJ3143】【Luogu P3232】 [HNOI2013]游走 概率期望，图论

期望\(DP\)入门题目。

关键思想：无向边的转移作为有向边考虑。其他的就是直接上全期望公式。由于这个题目不是有向无环图，所以需要高斯消元搞一搞。

设每个点的期望经过次数是\(g(x)\)，那么有

\[g(u) = \sum_{v} \frac{1}{out(v)}*g(v)\]

特殊的，我们认为点\(1\)有一个一定经过的入边，且不考虑点\(n\)的所有出边。

这个\(g\)很好做啊，我们高斯消元搞一搞就好了。那边的期望经过次数\(f(x)\)也就显而易见。

\[f(x) = \frac{g(u)}{out(u)} + \frac{g(v)}{out(v)}\]

然后这个题就做完了。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 500 + 5;

int n, m, u[N * N], v[N * N], out[N];

vector <int> G[N];

double ans, f[N * N], g[N], mat[N][N];

void gauss_jordan () {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int besti = i;
        for (int j = i; j <= n; ++j) {
            if (fabs (mat[besti][i]) < fabs(mat[j][i])) {
                besti = j;
            }
        }
        if (i != besti) swap (mat[i], mat[besti]);
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            if (i == j) continue;
            double t = mat[j][i] / mat[i][i];
            for (int k = i; k <= n + 1; ++k) {
                mat[j][k] -= mat[i][k] * t;
            }
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        g[i] = mat[i][n + 1] / mat[i][i];
    }
}

int main () {
    // freopen ("data.in", "r", stdin);
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        cin >> u[i] >> v[i];
        G[u[i]].push_back (v[i]); if (u[i] != n) out[u[i]]++;
        G[v[i]].push_back (u[i]); if (v[i] != n) out[v[i]]++;
    }
    mat[1][n + 1] = 1;
    for (int u = 1; u <= n; ++u) {
        mat[u][u] = 1;
        for (int i = 0; i < G[u].size (); ++i) {
            int v = G[u][i];
            if (v == n) {
                mat[n][v] = -1.0 / out[v];
            } else {
                mat[u][v] = -1.0 / out[v];
            }
        }
    }
    gauss_jordan ();
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        if (u[i] != n) f[i] += g[u[i]] / out[u[i]];
        if (v[i] != n) f[i] += g[v[i]] / out[v[i]];
    }
    sort (f + 1, f + 1 + m);
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        ans += (m - i + 1) * f[i];
    }
    cout << fixed << setprecision (3) << ans << endl;
}