[luogu3232 HNOI2013] 游走（高斯消元期望）

题目描述

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1<=u,v<=N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N<=10，100%的数据满足2<=N<=500且是一个无向简单连通图。

输出格式：

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

输入输出样例

输入样例#1：

3 3
2 3
1 2
1 3

输出样例#1：

3.333

说明

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

题解

思路就是先求出每一条边的概率，然后编号（概率大的编号小）然后乘起来就是期望
而一条边的期望值等于它所连的两个点到这条边的期望值
而一个点到一条边的期望值等于这个点的期望值*1/点的度数
而一个点（u）的期望值是与它所连的所有点（v）的期望值/度数之和
\(f[x]=\sum_{i=1}^k\frac{f[i]}{du[i]}\) k是x所连所有点的点集
根据这个每个点列出方程高斯消元即可（注意1和n点）

code:

//By Menteur_Hxy
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<map>
#define LL long long
#define M(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(register int i=(a);i<=(b);i++)
#define C(i,a,b) for(register int i=(b);i>=(a);i--)
#define E(i,u) for(register int i=head[u];i;i=nxt[i])
using namespace std;

LL rd() {
    LL x=0,f=1; char c=getchar();
    while(!isdigit(c)) {if(c=='-') f=-f;c=getchar();}
    while(isdigit(c)) x=(x<<1)+(x<<3)+c-48,c=getchar();
    return x*f;
}
const int N=510;
struct edge
{
    int to,next;
}e[N*N*2];

int st[N*N*2],n,m,tot,x,y,s[N*N*2],ed[N*N*2];
double d[N],f[N][N],ans[N],sum,E[N*N*2];

void add(int x,int y)
{
    e[++tot].to=y;
    e[tot].next=st[x];
    st[x]=tot;
}

const double eps=1e-11;//之前1e-7结果精度爆炸QAQ

int gauss() {
    int h=1,l=1;n-=1;
    for(;h<=n&&l<=n+1;h++,l++) {
        int r=h;
        F(i,h+1,n) if(fabs(f[r][l])<fabs(f[i][l])) r=i;
        if(fabs(f[r][l])<eps) {h--;continue;}
        if(r!=h) F(i,l,n+1) swap(f[r][i],f[h][i]);
        F(i,h+1,n) if(fabs(f[i][l])>eps) {
            double t=f[i][l]/f[h][l];
            F(j,l,n+1) f[i][j]-=f[h][j]*t;
            f[i][l]=0;
        }
    }
    F(i,h,n) if(fabs(f[i][n+1])>eps) return -1;
    if(h<n+1) return n+1-h;
    C(i,1,n) {
        double tmp=f[i][n+1];
        F(j,i+1,n) tmp-=ans[j]*f[i][j];
        ans[i]=(tmp/f[i][i]);
    }
    n+=1;
    return 0;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y),add(y,x);
        d[x]+=1.0,d[y]+=1.0;
        s[i]=x,ed[i]=y;
    }
    for (int i=1;i<n;i++)
    {
        f[i][i]=1.0;
        for (int j=st[i];j;j=e[j].next)
            if (e[j].to!=n)
                f[i][e[j].to]=-1/d[e[j].to];
    }
    f[1][n]=1;
    gauss();
    for (int i=1;i<=m;i++)
        E[i]=ans[s[i]]/d[s[i]]+ans[ed[i]]/d[ed[i]];
    sort(E+1,E+m+1);
    for (int i=1;i<=m;i++)
        sum+=E[i]*(m-i+1.0);
    printf("%.3lf",sum);
    return 0;
}