[HNOI2013][BZOJ3143] 游走 - 高斯消元

题目描述

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

输入输出格式

输入格式：

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数和边数，接下来M行每行是整数u，v(1<=u,v<=N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。输入保证30%的数据满足N<=10，100%的数据满足2<=N<=500且是一个无向简单连通图。

输出格式：

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

输入输出样例

输入样例#1：

输出样例#1：

3.333

说明

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

题解：

　　期望dp。

　　贪心地想，我们肯定要往那个期望到达次数最大的边赋最小的权值；

　　所以问题转化成了求边的期望到达次数；

　　我们发现一条边连着唯一的两个点，我们要知道边的期望，首先要知道到达每个点的期望次数；

　　我们设f[i]表示第i个点的期望到达次数，即f[i] = ∑(f[to[i]] * deg[to[i]]) ,deg[i]表示一个点的度数；

　　这样我们发现可以高斯消元解出；要注意的是1号点的期望还得加上1因为从他开始必定经过；

　　然后求g[i]，即边i的期望到达次数，g[i] = f[l[i]]/deg[l[i]] + f[r[i]]/deg[r[i]],l r表示这个边链接的两个点；

　　要注意如果是n号点的话，就不用考虑，因为到了n点就不会继续游走了；

　　然后就贪心地赋边权；

Code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define eps 1e-8

int n, m;
struct edge
{
    int from, to;
    int nxt;
}ed[500010];
int deg[505], head[505];
int cnt;
int fr[500010], tt[500010];
inline void add(int x, int y){ed[++cnt] = (edge){x, y, head[x]};head[x] = cnt;}

double g[250010];
double a[505][505];
double ans;

inline void Gauss_()
{
    for (register int i = 1 ; i < n ; i ++)
    {
        int pivot = i ;
        for (register int j = i + 1 ; j < n ; j ++)
        {
            if (fabs(a[j][i] - a[pivot][i]) <= eps) pivot = j;
        }
        if (pivot != i)
            for (register int j = 1 ; j <= n ; j ++)
                swap(a[i][j], a[pivot][j]);
        for (register int j = n ; j >= i ; j --) a[i][j] /= a[i][i];
        for (register int j = 1 ; j < n ; j ++) 
            if (i != j) 
                for (register int k = n ; k >= i ; k --)
                    a[j][k] -= a[j][i] * a[i][k];
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (register int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        deg[x]++, deg[y]++;
        fr[i] = x, tt[i] = y;
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    
    a[1][n] = 1;
    for (register int i = 1; i < n; i ++)
    {
        a[i][i] = 1;
        for (register int j = head[i]; j; j = ed[j].nxt)
        {
            int to = ed[j].to ;
            if (to != n) a[i][to] = -1.0/deg[to];
        }
    }
    
    Gauss_();
        
    for (register int i = 1 ; i <= m ; i ++)
    {
        if (fr[i] != n )
            g[i] += a[fr[i]][n] * (1.0 / deg[fr[i]]) ;
        if (tt[i] != n)
            g[i] += a[tt[i]][n] * (1.0 / deg[tt[i]]);
    }
    
    sort(g + 1, g + 1 + m);
    for (register int i = 1 ; i <= m ; i ++) 
        ans += (m - i + 1) * 1.0 * g[i];
    printf("%.3lf", ans);
    
    return 0;
    
}