【HNOI2013】游走

题面

https://www.luogu.org/problem/P3232

题解

一道令我印象深刻的广为人知的图上随机游走模型，当时写的时候没有明白为什么，现在重新补一下。

首先，一眼贪心。找出每条边期望经过的次数，然后排个序，编号倒着给，这样就达到了“总分的期望值最小”。

求每条边$(u,v)$期望经过的次数，分为$u \to v$和$v \to u$，设$p_u$为$u$期望经过的次数，$p(u,v)=\frac{p_u}{d_u}+\frac{p_v}{d_v}$。

求每个点期望经过的次数，还是一个邻接矩阵$M$（和别的题一样的建法）。列向量$P$乘上这个矩阵。

设$sum=\sum_{i=0}^{INF}{PM^i}$

列向量$sum$的最后一个$n$是没有意义的，但是$[1..n-1]$都是有意义的，就是代表这个点期望经过的次数。

因为$P[1..n]$前$n-1$位最后会趋向于$0$，所以$sum$前$n-1$位最后会趋向于一个定值，我们要利用高斯消元在$O(n^3)$求出它。

因为$sum$是一个等比数列和的形式，所以我们可以用大神教我们的等比数列求和公式求得$sum$（需要用矩阵求逆），这样复杂度就对了。

等等，让我看一下，代码没有用矩阵求逆啊。为什么就搞出来了呢？

不要想着把$(M-I)$除过去，想着把$(M-I)$看成一个多元一次方程的系数，把$PM^{INF}-P$看成这个方程组的右侧的值，然后高斯消元，求得就是$sum$的值了。

想出来这个超级激动啊，嘤嘤嘤。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ri register int
#define N 505
#define double long double
#define M 130000
#define INF 1000000007
using namespace std;

int n,m;
vector<int> to[N];
double d[N];
double mat[N][N],p[N],ans=0;
int a[M],b[M],id[M];

bool cmp(int x,int y) {
  return p[a[x]]/d[a[x]]+p[b[x]]/d[b[x]]<p[a[y]]/d[a[y]]+p[b[y]]/d[b[y]];
}

void guess() {
  for (ri i=1;i<=n;i++) {
    int p=-1; double maxa=0;
    for (ri j=i;j<=n;j++) if (fabs(mat[j][i])>maxa) maxa=fabs(mat[j][i]),p=j;
    for (ri j=1;j<=n+1;j++) swap(mat[i][j],mat[p][j]);
    for (ri j=i+1;j<=n;j++) {
      double dv=mat[j][i]/mat[i][i];
      for (ri k=1;k<=n+1;k++) mat[j][k]-=mat[i][k]*dv;
    }
  }
  p[n]=mat[n][n+1]/mat[n][n];
  for (ri i=n-1;i>=1;i--) {
    for (ri j=i+1;j<=n;j++) mat[i][n+1]-=p[j]*mat[i][j];
    p[i]=mat[i][n+1]/mat[i][i];
  }
}

int main(){
  scanf("%d %d",&n,&m);
  for (ri i=1;i<=m;i++) {
    scanf("%d %d",&a[i],&b[i]);
    to[a[i]].push_back(b[i]); to[b[i]].push_back(a[i]);
  }
  for (ri i=1;i<=n;i++) d[i]=to[i].size();
  d[n]=INF;
  for (ri i=1;i<=n-1;i++) {
    for (ri j=0;j<to[i].size();j++) {
      int x=to[i][j];
      if (x!=n) mat[i][x]=1.0/d[x];
    }
    mat[i][i]=-1.0;
  }
  mat[1][n]=-1.0;
  p[n]=0; n--;
  guess();
  for (ri i=1;i<=m;i++) id[i]=i;
  sort(id+1,id+m+1,cmp);
  ans=0;
  for (ri i=1;i<=m;i++) ans+=(p[a[id[i]]]/d[a[id[i]]]+p[b[id[i]]]/d[b[id[i]]])*(double)(m-i+1);
  printf("%.3Lf",ans);
}