【BZOJ1492】【Luogu P4027】 [NOI2007]货币兑换 CDQ分治，平衡树，动态凸包

斜率在转移顺序下不满足单调性的斜率优化\(DP\)，用动态凸包来维护。送命题。

简化版题意：每次在凸包上插入一个点，以及求一条斜率为\(K\)的直线与当前凸包的交点。思路简单实现困难。

\(P.s\)，不是特别建议用\(Set\)来维护动态凸包，万一中间哪一点功能实现\(STL\)没有提供就\(GG\)了。（比如要有两种比较运算符。）本人因此重构了三次\(:)\)

代码来源：黄学长的代码的魔改版。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const double eps = 1e-8;
const int N = 100000 + 5;

int n, top, sta[N]; double f[N];

struct point {
    double x, y, a, b, k, rate; int w, id;
}p[N], t[N];

double getk (int a, int b) {
    if (b == 0) return -1e20;
    if (fabs (p[a].x - p[b].x) < eps) {
        return 1e20;
    } else {
        return (p[b].y - p[a].y) / (p[b].x - p[a].x);
    }
}

bool operator < (point a, point b) {
    return a.k > b.k;
}

void solve (int l, int r) {
    if (l == r) {
        f[l] = max (f[l], f[l - 1]);
        p[l].y = f[l] / (p[l].a * p[l].rate + p[l].b);
        p[l].x = p[l].rate * p[l].y;
        return;
    }//分治到底了显然我们可以直接计算出结果 
    int l1, l2, mid = (l + r) >> 1, j = 1;
//============================================================================
    l1 = l; l2 = mid + 1;
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        if (p[i].id <= mid) {
            t[l1++] = p[i];
        } else {
            t[l2++] = p[i];
        }
    }
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        p[i] = t[i];
    }
    solve (l, mid);//递归左边
    top = 0;
    for (int i = l; i <= mid; i++) {
        while (top > 1 && getk (sta[top - 1], sta[top]) < getk (sta[top - 1], i) + eps) {
            top--;
        }
        sta[++top] = i;
    }//左边维护一个凸包
    sta[++top] = 0;
    for (int i = mid + 1; i <= r; i++) {
        while (j < top && getk (sta[j], sta[j + 1]) + eps > p[i].k) {
            j++;
        }//用左边的点作为决策更新右边 
        f[p[i].id] = max (f[p[i].id], p[sta[j]].x * p[i].a + p[sta[j]].y * p[i].b);
    }
    solve (mid + 1, r);//递归右边 
    l1 = l; l2 = mid + 1;
    for (int i = l; i <= r; i++) {
        if (((p[l1].x < p[l2].x || (fabs(p[l1].x - p[l2].x) < eps && p[l1].y < p[l2].y)) || l2 > r) && l1 <= mid) {
            t[i] = p[l1++];
        } else {
            t[i] = p[l2++];
        }
    }
    for (int i = l; i <= r; i++) p[i] = t[i];
}

int main () {
//  freopen ("data.in", "r", stdin);
    cin >> n >> f[0];
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> p[i].a >> p[i].b >> p[i].rate;
        p[i].k = -p[i].a / p[i].b; p[i].id = i;
    }
    sort (p + 1, p + n + 1);//这里按照斜率进行排序，保证分治的每一块斜率是有序的 
    solve (1, n);
    cout << fixed << setprecision (10) << f[n] << endl;
}