bzoj1492: [NOI2007]货币兑换Cash 斜率优化Dp+cdq分治

bzoj1492: [NOI2007]货币兑换Cash

Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下
简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，
两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券和 B券的
价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法
。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将
OP% 的 A券和 OP% 的 B券以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：
这里写图片描述
假定在第一天时，用户手中有 100元人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能
够获得多少元钱。

Input

输入第一行两个正整数N、S，分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行，第K行三个实数AK、B
K、RateK，意义如题目中所述。对于100%的测试数据，满足：0

Output

只有一个实数MaxProfit，表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

分析

如果某天的票券很优秀，那么咱们肯定全卖。
所以要么全买要么不买。
$f[i] = max\{f[j]+\frac{f[j]}{a[j]*r[j]+b[j]}*a[i]+\frac{f[j]}{a[j]+\frac{b[j]}{r[j]}}*b[i],f[i-1]\}$
然后 $x[j]=\frac{f[j]}{a[j]*r[j]+b[j]},y[j]=\frac{f[j]}{a[j]+\frac{b[j]}{r[j]}}$ 这俩分别代表那天可以买进的最多票券。
于是方程就变成了
$f[i] = max\{x[j]*a[i]+y[j]*b[i],f[i-1] \}$
这是个斜率Dp的形式。
化斜截
$y[j]=\frac{f[i]}{b[j]}-\frac{a[j]}{b[j]}*x[j]$
也就是对于一些固定点 $(x[j],y[j])$ 我们有一条固定斜率的直线要去截他们，要使得纵截距最大。
搞凸包就好了。
如果横坐标单调的话，一个斜率优化Dp就可以了。
然而这里不是单调的，需要动态维护凸包。
但是有一种更神奇的方法，就是cdq分治。
指考虑左区间对右区间的影响。我们可以把左区间按照横坐标排序(一个归并)，这样的话搞凸包就是线性的。
然后右区间按照斜率排序，转移。
最后递归右区间，归并。
复杂度每层只会跑一个线性，所以是 $O(nlogn)$

模板

1.递归左区间
2.线性求出左区间凸包
3.左区间转移到右区间
4.递归右区间
5.归并排序

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
const int N = 1e5 + 10; const double eps = 1e-10;
int n, h[N]; double f[N];
struct data {
    double a, b, x, y, k, r; int id;
    void In(int i) {scanf("%lf%lf%lf", &a, &b, &r); k = -a / b; id = i;}
    void Get() {y = f[id] / (a * r + b); x = y * r;}
    void Tra(data j) {f[id] = std::max(f[id], j.x * a + j.y * b);}
    bool operator < (data b) {return fabs(x - b.x) < eps ? y < b.y : x < b.x;}
}p[N], q[N];
bool cmp(data a, data b) {return a.k > b.k;}
double K(int i, int j) {
    double dx = p[i].x - p[j].x, dy = p[i].y - p[j].y;
    return !j ? -1e20 : (fabs(dx) < eps ? 1e20 : dy / dx);
}
void Solve(int L, int R) {
    if(L == R) {f[L] = std::max(f[L], f[L - 1]); return p[L].Get();}
    int m = L + R >> 1, s = L, t = m + 1;
    for(int i = L; i <= R; ++i) p[i].id <= m ? q[s++] = p[i] : q[t++] = p[i];
    for(int i = L; i <= R; ++i) p[i] = q[i];
    Solve(L, m); int tp = 0;
    for(int i = L;i <= m; ++i) {
        for(;tp > 1 && K(h[tp], i) + eps > K(h[tp], h[tp - 1]);) --tp; 
        h[++tp] = i;
    }
    h[tp + 1] = 0; tp = 1;
    for(int i = m + 1; i <= R; ++i) {
        for(;K(h[tp], h[tp + 1]) + eps > p[i].k ;) ++tp;
        p[i].Tra(p[h[tp]]);
    }
    Solve(m + 1, R); s = L, t = m + 1; tp = L;
    for(;s <= m && t <= R; ) p[s] < p[t] ? q[tp++] = p[s++] : q[tp++] = p[t++];
    for(;s <= m;) q[tp++] = p[s++]; for(;t <= R;) q[tp++] = p[t++];
    for(int i = L;i <= R; ++i) p[i] = q[i];
}
int main() {
    scanf("%d%lf", &n, &f[0]);
    for(int i = 1;i <= n; ++i) p[i].In(i);
    std::sort(p + 1, p + n + 1, cmp);
    Solve(1, n); printf("%.3lf\n", f[n]);
    return 0;
}
?