【算法笔记】第五章：数学问题

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【算法笔记】第五章：数学问题

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第五章：入门篇（3）——数学问题

5.1 简单数学

5.2 最大公约数与最小公倍数

5.2.1 最大公约数

欧几里得算法（辗转相除法）：设a、b为两个整数（假设a>b），则gcd(a,b) = gcd(a, a%b);

5.2.2 最小公倍数

最小公倍数的求解是建立在 最大公约数 上的。
当得到 a 和 b 的最大公约数 d 之后，可以得到a与b的最小公倍数为 ab/d.

5.3.1 分数的表示和化简

分数的表示：对于一个分数来说，最简洁的写法就是写成 假分数 的形式，即无论分子和分母的大小如何，均保留其原数。
可以用结构体来存储这种只有分子和分母的分数。

struct Fraction{
    int up;
    int down;
}

这样表示，可以制定三项规则：1. 分母down不可以为负数。若分数为负数，则分子up为负数。2. 如果分数为0， 则规定分子up 为 0, 分母down 为1. 3. 分子和分母没有除了1之外的公约数。

分数的化简：主要看约分：求出分子绝对值与分母绝对值的最大公约数d，然后令二者同时除以d.

5.3.2 分数的四则运算

分数的加减法：对于给定的两个分数 f1 和 f2，其加减法公式为：
$res = \frac{ f1.up * f2.down \pm f2.up * f1.down}{f1.down * f2.down}$

分数的乘法：对于给定的两个分数 f1 和 f2，其乘法公式为：
$res = \frac{ f1.up * f2.up}{ f1.down * f2.down}$

分数的除法：对于给定的两个分数 f1 和 f2，其除法公式为：
$res = \frac{ f1.up * f2.down}{ f1.down * f2.up}$

以上代码实现略。

5.3.3 分数的输出

5.4 素数

素数（质数）：除了 1 和其本身外，不能被其他数整除的一类数。

特殊：1既不是素数，也不是合数。

5.4.1 素数的判断

最直接的方法：一个整数n要被判断为素数，首先判断n是否能被2，3，…，n-1中的一个整除。只有2，3，…，n-1都不能整除n，n才能判定为素数，否则n为合数。该方法时间复杂度为O(n)，对于实际问题而言，是比较耗时的。

改进方法：如果 2 ~ n-1中存在n的约数，不妨设为k，即 n%k == 0, 那么由 k *(n/k) == n ,可知 n/k 也是n的一个约数。所以，我们只需要判定n是否能被 2，3，… $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$中的一个整除，即可判定n是否为素数。该方法运算时间为O(sqrt(n)).
代码如下：

bool isPrime( int n){
    if( n <= 1) 
        return false;
    int sqr = (int)sqrt(1.0*n);
    for( int i = 2; i <= sqr; i++)//注意是小于等于
        if( n%i == 0)
            return false;
            
    return true;
}

筛选法：其中最容易理解的一种筛选法为 埃氏晒法（eratoshenes筛法），其时间复杂度为O(nloglogn).
算法从小到大枚举所有的数字，对于每一个素数，晒去它的所有倍数，剩下的就是素数了。
例如：求 1 ~ 15 中所有的素数。
$2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15$
首先 2 是素数，所以晒去2的倍数。
$2，3，5，7，9，11，13，15$
第二个数字是3，由于它没有被晒去，所以3是素数。
$2，3，5，7，11，13$
依次类推即可。

代码：

const int maxsize =101;
int prime[maxsize], pNum = 0;//素数表长至少比n大1.
bool p[maxsize] = {0};
void find_Prime(){
    for( int i = 2; i < maxsize; i++){//不能写成<=
        if( p[i] == flase;){
            prime[pNum++] = i;
            
            for( int j = i + i; j < maxSize; j+=i)
                p[j] = true;
        }
    }
}

5.5 质因子分解

质因子分解：指的是将一个正整数n写成一个或者多个质数的乘积的形式，例如 6 = 2 * 3， 8 = 2 * 2 * 2…注意，由于1本身不是素数，所以它没有质因子。
由于每一个质因子可能出现不止一次，所以可以定义结构体factor,用来存放质因子以及其个数。

struct factor{
    int x;
    int count;
}fac[ num];

5.6 大整数的运算

5.6.1 大整数的存储

A+B这样的运算永远是最简单的，但是如果A和B是1000位的数字呢？
计算机是无法存储这么大的数字的，因此需要进行特殊处理。
最简单的处理办法是使用 数组，可以让整数的每一位分别存储到对应数组的位置上。整数的高位存储在数组的高位，整数的低位存储在数组的低位。（有时候需要反转一下）

5.6.2 大整数的四则运算

高精度加法、高精度减法、高精度乘法、高精度除法。
以上代码实现较为简单，知道思想即可。

5.7 组合数

5.7.1 一个关于 n! 的问题

关于 n! 的问题：求 n! 中有多少个质因子p。
方法一： 最直观的想法是计算 1～n 中每个数的总共有多少质因子p，然后结果相加。该算法运算时间为O(nlogn).
显然，对于足够大的数字，以上放上是不够实用的。
方法二：公式：n! 中有 $ \frac{n}{p} + \frac{n}{p^2} + \frac{n}{p^3} +…$ 个质因子p，其中除法均为向下取整。该算法的运算时间为O(logn).
代码如下：

int cal( int n, int p){
    int ans = 0;
    while( n){
        ans += n/p;
        n /= p;
    }
    return ans;

}

扩展：计算n!的末尾有多少个零？
由于末尾0的个数等于n!中因子10的个数，而这又等于n!中质因子5的个数，因此只需要代入cal(n,5)即可。

5.7.2 组合数的计算

组合数$ \binom{n}{m} $指从n个不同元素中挑出m个元素的方案数( m <= n). 也可以写成$ C_n^m $, 其定义为 $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$
性质：1. 组合数满足$ C_n^m = C_n^{n-m} $. 2. $C_n^0 = C_n^n = 1$.

计算组合数的方法：

方法一： 通过定义直接计算。
由 $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$，可先计算 n!, 再计算m!(n-m)!.
但是，由于阶乘数十分庞大，很容易发生溢出。因此不推荐这种方式。

方法二： 通过递推式：
由组合数的性质可知，$ C_n^m $代表从n个数字中选择m个数。可以分解为两部分，分别是 一，选最后一个数字，从前n-1个数字中选择m-1个数字；二，不选最后一个数字，从前n-1个数字中选择m个数字。
即 $ C_n^m = C_{n-1}^m + C_{n-1}^{m-1}$
注意，该方法写代码时不建议使用递归（因为会造成重复计算），可以使用二位矩阵代替。

方法三： 通过定义式的变形来计算
$C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} = \frac{ (n - m +1)(n- m + 2)…(n-m+m)}{123*…*m} $
可以观察到，上式的分子和分母的项数均为m项，可以按照以下方式计算： $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!} \\= \frac{ (n - m +1)(n- m + 2)...(n-m+m)}{1*2*3*...*m} \\ = \frac{\frac{\frac{ \frac{n-m+1}{1} * (n-m+2)}{2}*...}{...}*(n-m+m)}{m}$
上式唯一需要证明的每次除法都是整数。这个很简单，因为上式就是把$ C_{n-m+i}^{i} $展开写的结果，而$ C_{n-m+i}^{i}$必然是个整数。
代码：

long long C( long long n, long long m){
    long long ans = 1;
    for( int i = 1; i <=m; i++)
        ans = ans * (n - m + i) /i; // 先乘再除
}

一般而言，组合数的求解会发生溢出。在很多问题中，一般让运算结果对一个正整数p进行取模。

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