算法图解第五章笔记与习题（散列表）

算法图解第五章笔记与习题（散列表）

5.1 散列函数

散列函数是这样的函数，即无论你给它什么数据，它都还你一个数字。即：将任意输出映射为数字。同时，散列函数同时遵循着一些规则：

• 它必须是一致的。例如，假设你输入apple时得到的是4，那么每次输入apple时，得到的都必须为4。如果不是这样，散列表将毫无用处。
• 它应将不同的输入映射到不同的数字。例如，如果一个散列函数不管输入是什么都返回1， 它就不是好的散列函数。最理想的情况是，将不同的输入映射到不同的数字。
• 另外，散列函数可以知道数组的大小，并返回有效的索引。如果数组包含5个元素，散列函数就不会返回无效索引100。

因此，散列函数可以用来与数组结合，形成散列表(hash table)，也称哈希表，其特点是可以利用散列函数来确定元素的存储位置。同时，它也是一种包含额外逻辑数据结构。

在python中提供字典（dictionary）作为散列表的实现。

>>> book = dict()
>>> book["apple"] = 0.67  # 一个苹果的价格是67美分
>>> book["milk"] = 1.49    # 牛奶的价格为1.49美元
>>> book["avocado"] = 1.60
>>> print(book)
{'apple': 0.67, 'milk': 1.49, 'avocado': 1.6}
>>> print(book["milk"])
1.49   # 牛奶的价格

我们把散列表的输入输出称为键-值对（key-value）。

5.2 应用场景

这里总结一下，散列表适合用于：

• 模拟映射关系；
• 防止重复；
• 缓存/记住数据，以免服务器再通过处理来生成它们。

5.3 冲突

上面提到，散列函数总是将不同的键映射为不同的值，但实际上不是的。

当散列函数选的十分简单，如以键的首字母来分配数组位置时。如果有两个输入：apple和avocado，对于这个散列函数而言，他们的值是相同的，则他们在数组中的位置也将相同！

这种情况被称作冲突（collision）。在这种情况下，后被写入的键将覆盖前一个。则以后查询apple时，将得到的是avocado的值。

对于冲突的情况，最简单的解决方法是在冲突的位置存储一个链表，拓展这个散列表。

但当冲突的输入增多，链表增长后，散列表的速度将会变得很慢。

因此，散列函数很重要。理想的情况下，散列函数将输入均匀地映射到散列表的不同位置。

5.4 性能

如果在散列表的冲突的位置，用链表进行缓解。在最糟情况下，散列表的所有操作的运行时间均为 $O(n)$。

	散列表平均情况	散列表最糟情况	数组	链表
查找	$O(1)$	$O(n)$	$O(1)$	$O(n)$
插入	$O(1)$	$O(n)$	$O(n)$	$O(1)$
删除	$O(1)$	$O(n)$	$O(n)$	$O(1)$

（疑问——为什么散列表最糟情况的插入和删除的时间也是 $O(n)$？）

由上表可见，在最糟情况下，散列表的各种操作的速度都很慢。因此，在使用散列表时，避开最糟情况至关重要。为此，需要避免冲突。而要避免冲突，需要有：

• 较低的填装因子
• 良好的散列函数

5.4.1 填装因子

散列表的填装因子的计算方式为：
${\frac {散列表包含的元素数}{位置总数}}$

如，当一个散列表的数组长度为5，有3个位置已有元素时，其填装因子为0.6。

当散列表中的元素超出数组长度，填充因子大于1时。就需要为散列表中增加位置，称为调整长度（resizing）。

调整长度时，首先创建一个新数组（通常将数组增长一倍），接下来通过散列函数（hash 函数）重新为各个键重新分配在新数组中的位置。

调整长度过后，填装因子将降低。填装因子越低，发生冲突的可能性越小，散列表的性能就越高。经验规则为：一旦填装因子大于0.7，就调整散列表的长度。

调整长度需要很长的时间，但平均而言，即便考虑到调整长度所需的时间，散列表操作所需的时间也为 $O(1)$。

5.4.2 良好的散列函数

良好的散列函数使数组中的值呈均匀分布。

通常我们不需要担心如何选择散列函数，但在本书最后一章中，有对SHA函数的介绍。可以用它作为散列函数。

5.5 小结

散列表是一种功能强大的数据结构，其操作速度快，还能让你以不同的方式建立数据模型。

• 你可以结合散列函数和数组来创建散列表。
• 冲突很糟糕，你应使用可以最大限度减少冲突的散列函数。
• 散列表的查找、插入和删除速度都非常快。
• 散列表适合用于模拟映射关系。
• 一旦填装因子超过0.7，就该调整散列表的长度。
• 散列表可用于缓存数据（例如，在Web服务器上）。
• 散列表非常适合用于防止重复。

练习

习题5.1-5.4题干：

对于同样的输入，散列表必须返回同样的输出，这一点很重要。如果不是这样的，就无法找到你在散列表中添加的元素！ 请问下面哪些散列函数是一致的？

习题5.1

• f(x) = 1​ ←（无论输入是什么，都返回1）

一致，对于同样的输入，散列表返回相同的值1。

习题5.2

• f(x) = rand() ← （每次都返回一个随机数）

不一致，对于同样的输入，散列表可能返回不同的随机数。

习题5.3

• f(x) = next_empty_slot() ← （返回散列表中下一个空位置的索引）

不一致，对于相同的输入，散列表返回下一个空位置的索引，而下一个空位置的索引随时可能变化。

习题5.4

• f(x) = len(x) ← （将字符串的长度用作索引）

一致，对于相同的输入，散列表返回的始终是该输入字符串的长度。

习题5.5-5.7题干：

散列函数的结果必须是均匀分布的，这很重要。它们的映射范围必须尽可能大。最糟糕的散列函数莫过于将所有输入都映射到散列表的同一个位置。

假设你有四个处理字符串的散列函数。

A. 不管输入是什么，都返回1。

B. 将字符串的长度用作索引。

C. 将字符串的第一个字符用作索引。即将所有以a打头的字符串都映射到散列表的同一个位置，以此类推。

D. 将每个字符都映射到一个素数：a = 2，b = 3，c = 5，d = 7，e = 11，等等。对于给定的字符串，这个散列函数将其中每个字符对应的素数相加，再计算结果除以散列表长度的余数。例如，如果散列表的长度为10，字符串为bag，则索引为(3 + 2 + 17) % 10 = 22 % 10 = 2。

在下面的每个示例中，上述哪个散列函数可实现均匀分布？假设散列表的长度为10。

习题5.5

• 将姓名和电话号码分别作为键和值的电话簿，其中联系人姓名为Esther、Ben、Bob和Dan。

只有散列函数D可以实现均匀分布。

习题5.6

• 电池尺寸到功率的映射，其中电池尺寸为A、AA、AAA和AAAA。

散列函数B、D均可实现均匀分布。

习题5.7

• 书名到作者的映射，其中书名分别为Maus、Fun Home和Watchmen。

散列函数C、D均可实现均匀分布。

注：书本后的练习答案似乎认为有两个键冲突也算是均匀分布，它提供的解答分别为CD，BD，BCD。如果有人可以告诉我为什么是这样的，希望可以留言或私信与我交流。谢谢。