DCT 离散余弦变换及蝶形算法

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离散余弦变换推导

discrete cosine transform
本文主要参考这篇知乎回答。

1974年，K. R. Rao、N. Ahmed、T. Natarajan三位教授创立了离散余弦变换（Discrete Cosine Transform, DCT）

（1）一维DCT

信号分析的课本上竟只讲了一维DCT，略有点失望呢
给一个序列/向量 $s(n),n=0,1,\ldots,N-1$,它的一维DCT：
$\left\{ \begin{array}{c} S_{cos}(0)=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{n=0}^{N-1}x_n \\ S_{cos}(k)=\frac{2}{\sqrt{N}}\sum_{n=0}^{N-1}x_n\cos[\frac{(2n+1)k\pi}{2N}],k=1,2,\ldots,N-1 \\ \end{array}\right.$

变换核函数为实函数：
$\varphi_{cos}(k,n)=\sqrt{\frac2N}g_k\cos[\frac{(2n+1)k\pi}{2N}],k,n=0,1,2,\ldots,N-1$
这个常系数是保证变换是正交矩阵的归一化系数。

(2)二维DCT

重要结论：

1. 离散余弦变换的效果能够接近理论上的最佳变换——Kahunen-Loeve变换（K-L变换）。
2. 在给定区间内满足狄利赫里条件的连续实对称函数，可以展开成仅含有余弦项的傅里叶级数。
3. 余弦变换CT来源于傅里叶变换FT，但后者有复数，运算复杂度和存储长度都更大，基于第2条结论，把普通实函数经过偶延拓变成实对称函数再进行二维DFT，就得到了二维DCT。
4. DCT是H.26X系列视频编码的基础，虽然各种视频编码方式经过几十年的发展，但以DCT为核心是没有变的
5. DCT在计算复杂度上较小波变换更有优势
6. DCT常被信号处理和图像处理使用，用于对信号和图像（包括静止图像和运动图像）进行有损压缩。在压缩算法中，将输入图像划分为88或1616的图像块，对每个图像块作DCT变换（分块后，每个块较小，运算时间更短）；然后舍弃高频的系数，并对余下的系数进行量化以进一步减少数据量；最后使用无失真编码来完成压缩任务。解压缩时首先对每个图像块作DCT反变换，然后将图像拼接成一副完整的图像。
7. 大多数自然信号（包括声音和图像）的能量都集中在余弦变换后的低频部分。由于人眼对于细节信息不是很敏感，因此信息含量更少的高频部分可以直接去掉，从而在后续的压缩操作中获得较高的压缩比。
8. 变换后DCT系数能量主要集中在左上角，其余大部分系数接近于零，DCT具有适用于图像压缩的特性。将变换后的DCT系数进行门限操作，将小于一定值得系数归零，这就是图像压缩中的量化过程，然后进行逆DCT运算，可以得到压缩后的图像。

延拓方法：

二维离散函数 $f(x,y)(x,y=0,1,\ldots,N-1)$

若序列不包含零点 $f(0,0)$，则 $f(-1,0)=f(1,0),f(0,-1)=f(0,1),对称中心：f(0,0)$

若序列包含零点 $f(0,0)$，则 $f(-1,0)=f(0,0),f(0,-1)=f(0,0),$对称中心： $f(-\frac12,-\frac12)$

偶延拓后，归一化的二维DCT：
$when (x,y) or (u,v)=(0,0)$

$F(u,v)=\frac1N\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\cos[\frac{\pi}{N}u(x+\frac12)]\cos[\frac{\pi}{N}v(y+\frac12)]$

$f(x,y)=\frac1N\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)\cos[\frac{\pi}{N}u(x+\frac12)]\cos[\frac{\pi}{N}v(y+\frac12)]$

$when (x,y) or (u,v)\not=(0,0)$

$F(u,v)=\frac{1}{2N}\sum_{x=0}^{N-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\cos[\frac{\pi}{N}u(x+\frac12)]\cos[\frac{\pi}{N}v(y+\frac12)]$

$f(x,y)=\frac{1}{2N}\sum_{u=0}^{N-1}\sum_{v=0}^{N-1}F(u,v)\cos[\frac{\pi}{N}u(x+\frac12)]\cos[\frac{\pi}{N}v(y+\frac12)]$

正逆变换的核函数均为 $\cos[\frac{\pi}{N}u(x+\frac12)]\cos[\frac{\pi}{N}v(y+\frac12)]$

从H.261开始，离散余弦变换就被应用于视频编码中。当技术发展到H.264与H.265，就具体的数学计算而言，H.261创立的分块编码被后续标准沿用，H.264在亮度平面上的基本分块为8x8像素块，于是离散余弦变换是这个样子（代入N=8）：

$F(u,v)=\frac{1}{16}\sum_{x=0}^{15}\sum_{y=0}^{15}f(x,y)\cos[\frac{\pi}{8}u(x+\frac12)]\cos[\frac{\pi}{8}v(y+\frac12)]$

$f(x,y)=\frac{1}{16}\sum_{u=0}^{15}\sum_{v=0}^{15}F(u,v)\cos[\frac{\pi}{8}u(x+\frac12)]\cos[\frac{\pi}{8}v(y+\frac12)]$

（3）蝶形算法butterfly algorithm