整数DCT蝶形算法

其他 2020-10-26 01:16:22 阅读次数: 0

在H.265/HEVC中支持4种不同尺寸的整数DCT变换，分别是4x4、8x8、16x16、32x32。

各种尺寸的DCT矩阵

对应的变化矩阵如下：

4x4变换矩阵：

8x8变换矩阵：

16x16变换矩阵：

下面分别是32x32变换矩阵的左边16列和右边16列：

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我们可以发现以上矩阵有如下特点：

  • 以上矩阵都是左右对称的，但是对称方式有所不同，偶数行的标准对称，奇数行互为相反数。

  • 所有矩阵都可以通过32x32矩阵亚采样得到。如16x16矩阵可由32x32矩阵偶数行的前16个元素组成；8x8矩阵可由32x32矩阵的第0、4、8、12、16、20、24、28行的前8个元素组成；4x4矩阵可由8x8矩阵第0、2、4、6行的前4个元素组成。

下面是32x32矩阵的前16列及其亚采样情况：

HM中DCT矩阵的定义

DCT变换的正变换和逆变换的矩阵定义是相同的，都是上面定义的矩阵。

const TMatrixCoeff g_aiT4 [TRANSFORM_NUMBER_OF_DIRECTIONS][4][4]   =
{
  DEFINE_DCT4x4_MATRIX  (   64,    83,    36),
  DEFINE_DCT4x4_MATRIX  (   64,    83,    36)
};

const TMatrixCoeff g_aiT8 [TRANSFORM_NUMBER_OF_DIRECTIONS][8][8]   =
{
  DEFINE_DCT8x8_MATRIX  (   64,    83,    36,    89,    75,    50,    18),
  DEFINE_DCT8x8_MATRIX  (   64,    83,    36,    89,    75,    50,    18)
};

const TMatrixCoeff g_aiT16[TRANSFORM_NUMBER_OF_DIRECTIONS][16][16] =
{
  DEFINE_DCT16x16_MATRIX(   64,    83,    36,    89,    75,    50,    18,    90,    87,    80,    70,    57,    43,    25,     9),
  DEFINE_DCT16x16_MATRIX(   64,    83,    36,    89,    75,    50,    18,    90,    87,    80,    70,    57,    43,    25,     9)
};

const TMatrixCoeff g_aiT32[TRANSFORM_NUMBER_OF_DIRECTIONS][32][32] =
{
  DEFINE_DCT32x32_MATRIX(   64,    83,    36,    89,    75,    50,    18,    90,    87,    80,    70,    57,    43,    25,     9,    90,    90,    88,    85,    82,    78,    73,    67,    61,    54,    46,    38,    31,    22,    13,     4),
  DEFINE_DCT32x32_MATRIX(   64,    83,    36,    89,    75,    50,    18,    90,    87,    80,    70,    57,    43,    25,     9,    90,    90,    88,    85,    82,    78,    73,    67,    61,    54,    46,    38,    31,    22,    13,     4)
};
#define DEFINE_DCT4x4_MATRIX(a,b,c) \
{ \
  { a,  a,  a,  a}, \
  { b,  c, -c, -b}, \
  { a, -a, -a,  a}, \
  { c, -b,  b, -c}  \
}

#define DEFINE_DCT8x8_MATRIX(a,b,c,d,e,f,g) \
{ \
  { a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a}, \
  { d,  e,  f,  g, -g, -f, -e, -d}, \
  { b,  c, -c, -b, -b, -c,  c,  b}, \
  { e, -g, -d, -f,  f,  d,  g, -e}, \
  { a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a}, \
  { f, -d,  g,  e, -e, -g,  d, -f}, \
  { c, -b,  b, -c, -c,  b, -b,  c}, \
  { g, -f,  e, -d,  d, -e,  f, -g}  \
}

#define DEFINE_DCT16x16_MATRIX(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o) \
{ \
  { a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a}, \
  { h,  i,  j,  k,  l,  m,  n,  o, -o, -n, -m, -l, -k, -j, -i, -h}, \
  { d,  e,  f,  g, -g, -f, -e, -d, -d, -e, -f, -g,  g,  f,  e,  d}, \
  { i,  l,  o, -m, -j, -h, -k, -n,  n,  k,  h,  j,  m, -o, -l, -i}, \
  { b,  c, -c, -b, -b, -c,  c,  b,  b,  c, -c, -b, -b, -c,  c,  b}, \
  { j,  o, -k, -i, -n,  l,  h,  m, -m, -h, -l,  n,  i,  k, -o, -j}, \
  { e, -g, -d, -f,  f,  d,  g, -e, -e,  g,  d,  f, -f, -d, -g,  e}, \
  { k, -m, -i,  o,  h,  n, -j, -l,  l,  j, -n, -h, -o,  i,  m, -k}, \
  { a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a}, \
  { l, -j, -n,  h, -o, -i,  m,  k, -k, -m,  i,  o, -h,  n,  j, -l}, \
  { f, -d,  g,  e, -e, -g,  d, -f, -f,  d, -g, -e,  e,  g, -d,  f}, \
  { m, -h,  l,  n, -i,  k,  o, -j,  j, -o, -k,  i, -n, -l,  h, -m}, \
  { c, -b,  b, -c, -c,  b, -b,  c,  c, -b,  b, -c, -c,  b, -b,  c}, \
  { n, -k,  h, -j,  m,  o, -l,  i, -i,  l, -o, -m,  j, -h,  k, -n}, \
  { g, -f,  e, -d,  d, -e,  f, -g, -g,  f, -e,  d, -d,  e, -f,  g}, \
  { o, -n,  m, -l,  k, -j,  i, -h,  h, -i,  j, -k,  l, -m,  n, -o}  \
}

#define DEFINE_DCT32x32_MATRIX(a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p,q,r,s,t,u,v,w,x,y,z,A,B,C,D,E) \
{ \
  { a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a,  a}, \
  { p,  q,  r,  s,  t,  u,  v,  w,  x,  y,  z,  A,  B,  C,  D,  E, -E, -D, -C, -B, -A, -z, -y, -x, -w, -v, -u, -t, -s, -r, -q, -p}, \
  { h,  i,  j,  k,  l,  m,  n,  o, -o, -n, -m, -l, -k, -j, -i, -h, -h, -i, -j, -k, -l, -m, -n, -o,  o,  n,  m,  l,  k,  j,  i,  h}, \
  { q,  t,  w,  z,  C, -E, -B, -y, -v, -s, -p, -r, -u, -x, -A, -D,  D,  A,  x,  u,  r,  p,  s,  v,  y,  B,  E, -C, -z, -w, -t, -q}, \
  { d,  e,  f,  g, -g, -f, -e, -d, -d, -e, -f, -g,  g,  f,  e,  d,  d,  e,  f,  g, -g, -f, -e, -d, -d, -e, -f, -g,  g,  f,  e,  d}, \
  { r,  w,  B, -D, -y, -t, -p, -u, -z, -E,  A,  v,  q,  s,  x,  C, -C, -x, -s, -q, -v, -A,  E,  z,  u,  p,  t,  y,  D, -B, -w, -r}, \
  { i,  l,  o, -m, -j, -h, -k, -n,  n,  k,  h,  j,  m, -o, -l, -i, -i, -l, -o,  m,  j,  h,  k,  n, -n, -k, -h, -j, -m,  o,  l,  i}, \
  { s,  z, -D, -w, -p, -v, -C,  A,  t,  r,  y, -E, -x, -q, -u, -B,  B,  u,  q,  x,  E, -y, -r, -t, -A,  C,  v,  p,  w,  D, -z, -s}, \
  { b,  c, -c, -b, -b, -c,  c,  b,  b,  c, -c, -b, -b, -c,  c,  b,  b,  c, -c, -b, -b, -c,  c,  b,  b,  c, -c, -b, -b, -c,  c,  b}, \
  { t,  C, -y, -p, -x,  D,  u,  s,  B, -z, -q, -w,  E,  v,  r,  A, -A, -r, -v, -E,  w,  q,  z, -B, -s, -u, -D,  x,  p,  y, -C, -t}, \
  { j,  o, -k, -i, -n,  l,  h,  m, -m, -h, -l,  n,  i,  k, -o, -j, -j, -o,  k,  i,  n, -l, -h, -m,  m,  h,  l, -n, -i, -k,  o,  j}, \
  { u, -E, -t, -v,  D,  s,  w, -C, -r, -x,  B,  q,  y, -A, -p, -z,  z,  p,  A, -y, -q, -B,  x,  r,  C, -w, -s, -D,  v,  t,  E, -u}, \
  { e, -g, -d, -f,  f,  d,  g, -e, -e,  g,  d,  f, -f, -d, -g,  e,  e, -g, -d, -f,  f,  d,  g, -e, -e,  g,  d,  f, -f, -d, -g,  e}, \
  { v, -B, -p, -C,  u,  w, -A, -q, -D,  t,  x, -z, -r, -E,  s,  y, -y, -s,  E,  r,  z, -x, -t,  D,  q,  A, -w, -u,  C,  p,  B, -v}, \
  { k, -m, -i,  o,  h,  n, -j, -l,  l,  j, -n, -h, -o,  i,  m, -k, -k,  m,  i, -o, -h, -n,  j,  l, -l, -j,  n,  h,  o, -i, -m,  k}, \
  { w, -y, -u,  A,  s, -C, -q,  E,  p,  D, -r, -B,  t,  z, -v, -x,  x,  v, -z, -t,  B,  r, -D, -p, -E,  q,  C, -s, -A,  u,  y, -w}, \
  { a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a,  a, -a, -a,  a}, \
  { x, -v, -z,  t,  B, -r, -D,  p, -E, -q,  C,  s, -A, -u,  y,  w, -w, -y,  u,  A, -s, -C,  q,  E, -p,  D,  r, -B, -t,  z,  v, -x}, \
  { l, -j, -n,  h, -o, -i,  m,  k, -k, -m,  i,  o, -h,  n,  j, -l, -l,  j,  n, -h,  o,  i, -m, -k,  k,  m, -i, -o,  h, -n, -j,  l}, \
  { y, -s, -E,  r, -z, -x,  t,  D, -q,  A,  w, -u, -C,  p, -B, -v,  v,  B, -p,  C,  u, -w, -A,  q, -D, -t,  x,  z, -r,  E,  s, -y}, \
  { f, -d,  g,  e, -e, -g,  d, -f, -f,  d, -g, -e,  e,  g, -d,  f,  f, -d,  g,  e, -e, -g,  d, -f, -f,  d, -g, -e,  e,  g, -d,  f}, \
  { z, -p,  A,  y, -q,  B,  x, -r,  C,  w, -s,  D,  v, -t,  E,  u, -u, -E,  t, -v, -D,  s, -w, -C,  r, -x, -B,  q, -y, -A,  p, -z}, \
  { m, -h,  l,  n, -i,  k,  o, -j,  j, -o, -k,  i, -n, -l,  h, -m, -m,  h, -l, -n,  i, -k, -o,  j, -j,  o,  k, -i,  n,  l, -h,  m}, \
  { A, -r,  v, -E, -w,  q, -z, -B,  s, -u,  D,  x, -p,  y,  C, -t,  t, -C, -y,  p, -x, -D,  u, -s,  B,  z, -q,  w,  E, -v,  r, -A}, \
  { c, -b,  b, -c, -c,  b, -b,  c,  c, -b,  b, -c, -c,  b, -b,  c,  c, -b,  b, -c, -c,  b, -b,  c,  c, -b,  b, -c, -c,  b, -b,  c}, \
  { B, -u,  q, -x,  E,  y, -r,  t, -A, -C,  v, -p,  w, -D, -z,  s, -s,  z,  D, -w,  p, -v,  C,  A, -t,  r, -y, -E,  x, -q,  u, -B}, \
  { n, -k,  h, -j,  m,  o, -l,  i, -i,  l, -o, -m,  j, -h,  k, -n, -n,  k, -h,  j, -m, -o,  l, -i,  i, -l,  o,  m, -j,  h, -k,  n}, \
  { C, -x,  s, -q,  v, -A, -E,  z, -u,  p, -t,  y, -D, -B,  w, -r,  r, -w,  B,  D, -y,  t, -p,  u, -z,  E,  A, -v,  q, -s,  x, -C}, \
  { g, -f,  e, -d,  d, -e,  f, -g, -g,  f, -e,  d, -d,  e, -f,  g,  g, -f,  e, -d,  d, -e,  f, -g, -g,  f, -e,  d, -d,  e, -f,  g}, \
  { D, -A,  x, -u,  r, -p,  s, -v,  y, -B,  E,  C, -z,  w, -t,  q, -q,  t, -w,  z, -C, -E,  B, -y,  v, -s,  p, -r,  u, -x,  A, -D}, \
  { o, -n,  m, -l,  k, -j,  i, -h,  h, -i,  j, -k,  l, -m,  n, -o, -o,  n, -m,  l, -k,  j, -i,  h, -h,  i, -j,  k, -l,  m, -n,  o}, \
  { E, -D,  C, -B,  A, -z,  y, -x,  w, -v,  u, -t,  s, -r,  q, -p,  p, -q,  r, -s,  t, -u,  v, -w,  x, -y,  z, -A,  B, -C,  D, -E}  \
}

DCT蝶形算法

由于上面的DCT矩阵有很强的规律性，所有可以使用蝶形算法加快计算速度。下面以4x4的矩阵为例讲解蝶形算法。

进行4x4DCT变换的计算过程如下：

其中要进行4x4DCT矩阵和待变换矩阵X相乘的运算，由于4x4DCT矩阵是固定的，且有很强的规律性所以该矩阵相乘运算可以设计快速算法完成。

可以看到上面矩阵运算过程中有多处进行了重复计算，可以在矩阵相乘前先计算出这些重复值从而避免多次计算，这就是蝶形算法。对于8x8、16x16和32x32矩阵蝶形算法类似。

下面是HM中4x4DCT矩阵的蝶形算法：

Void partialButterfly4(TCoeff *src, TCoeff *dst, Int shift, Int line)
{
  Int j;
  TCoeff E[2],O[2];
  TCoeff add = (shift > 0) ? (1<<(shift-1)) : 0;

  for (j=0; j<line; j++)
  {
    /* E and O */
    E[0] = src[0] + src[3];
    O[0] = src[0] - src[3];
    E[1] = src[1] + src[2];
    O[1] = src[1] - src[2];

    dst[0]      = (g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][0][0]*E[0] + g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][0][1]*E[1] + add)>>shift;
    dst[2*line] = (g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][2][0]*E[0] + g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][2][1]*E[1] + add)>>shift;
    dst[line]   = (g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][1][0]*O[0] + g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][1][1]*O[1] + add)>>shift;
    dst[3*line] = (g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][3][0]*O[0] + g_aiT4[TRANSFORM_FORWARD][3][1]*O[1] + add)>>shift;

    src += 4;
    dst ++;
  }
}

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转载自blog.csdn.net/Dillon2015/article/details/105461355
DCT
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